Diferencia entre revisiones de «Gráfica de una función»

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Revisión del 16:37 25 abr 2009

En matemáticas, la gráfica de una función f:X → Y es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) y es, por tanto, un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

En particular, para una función de una variable, para todo x donde la función está definida, existe un par ordenado (x,f(x)) en la gráfica. Si la función además es continua, entonces la gráfica formará una curva. Además su gráfica se puede representar en un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa una variable del dominio de la función, y la ordenada representa su conjunto imagen.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien una función siempre es identificada con su gráfica, ellas no son lo mismo ya que puede suceder que dos funciones con diferentes codominios pudieran tener la misma gráfica. Por ejemplo, el polinomio cúbico que se menciona luego es una suryectica si su dominio son los números reales y no lo es si su codominio es el campo complejo.

Ejemplos

La gráfica de la función

f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{si }}x=1\\d,&{\mbox{si }}x=2\\c,&{\mbox{si }}x=3.\end{matrix}}\right.

es {(1,a), (2,d), (3,c)}.

La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

f(x)={{x^{3}}-9x}\!\

es {(x,x³-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

Método para representar la gráfica de una función de una variable

Artículo principal: Representación gráfica de una función

Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

Buscar el dominio de la función, Dom f(x)
Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los límites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.
Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.
Estudio de la monotonía. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.
Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexión. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y así, sea x uno de estos puntos:

Si f(x) es negativa, entonces f(x) es cóncava

Si f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

Véase también

Herramientas para dibujar la gráfica de una función

Enlaces externos

Algunosapplets Java para funciones reales
Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

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 {{fusionar en|Representación gráfica de una función}}
-En [[matemáticas]], la '''gráfica de una [[función (matemáticas)|función]]''' ''f'':''X'' &rarr; ''Y'' es el es la visualización de la correspondencia entre los elementos del [[conjunto]] [[dominio de definición|dominio]] y los del [[conjunto imagen]] mediante su representación inconográfica.
+En [[matemáticas]], la '''gráfica de una [[función (matemáticas)|función]]''' ''f'':''X'' &rarr; ''Y'' es el [[conjunto]] formado por todos los [[pares ordenados]] (''x'', ''f''(''x'')) y es, por tanto, un subconjunto del [[producto cartesiano]] ''X''×''Y''.
+En particular, para una función de una variable, para todo ''x'' donde la función está definida, existe un [[par ordenado]] (''x'',''f''(''x'')) en la gráfica. Si la función además es [[función continua|continua]], entonces la gráfica formará una [[curva]]. Además su gráfica se puede representar en un sistema de [[coordenadas cartesianas]], donde cada abscisa representa una variable del [[dominio de definición|dominio]] de la función, y la ordenada representa su [[conjunto imagen]].
-Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de [[coordenadas cartesianas]], donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es [[función continua|continua]], entonces la gráfica formará una [[curva]].
+El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una [[Relación matemática|relación]].  Notar que si bien una función siempre es identificada con su gráfica, ellas no son lo mismo ya que puede suceder que dos funciones con diferentes [[Codominio|codominios]] pudieran tener la misma gráfica.  Por ejemplo, el polinomio cúbico que se menciona luego es una [[Función sobreyectiva|suryectica]] si su dominio son los [[números reales]] y no lo es si su codominio es el [[número complejo|campo complejo]].
-En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.
-El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una [[Relación matemática|relación]].  Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y [[codominios]] diferentes. P
 == Ejemplos ==