Diferencia entre revisiones de «Medidas de tendencia central»

← Ir a diferencia anterior Ir a siguiente diferencia →

Contenido eliminado Contenido añadido

En renglón

Revisión del 01:23 27 abr 2009

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.^[1] En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

Media aritmética.
Media ponderada.
Media geométrica.
Media armónica.
Mediana.
Moda.

La Media Aritmética

Artículo principal: Media aritmética

La medida de tendencia central más habitual es el valor obtenido sumando todas las observaciones y dividiendo el total por el número de observaciones que hay en el grupo.

La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.

Ejemplo:

Notas de 5 alumnos en una prueba:
 Alumno   Nota
   1       6.0       ·entonces se suman las Notas:
   2       5.4        6.0+5.4+3.1+7.0+6.1=27.6
   3       3.1       ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
   4       7.0         27.6/5=5.52
   5       6.1       ·LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERÍA 5.52

La Media Aritmética es la medida de tendencia central más ampliamente usada. Se le llama también promedio o, simplemente, media.

Propiedades de la media aritmética

1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.

2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.

3. Una serie de datos solo tiene una media.

4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.

5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.

Desventajas de la media aritmética

1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.

2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

Media muestral

Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F (x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.

Es necesario tener agrupados los datos en forma ascendente o descendente, es decir, que se tenga como primer dato el máximo o el mínimo antes de calcular la media muestral.

Distintas formas de escribir la fórmula

Moda

Es el dato que más se repite en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un número igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:

Número de personas en distintos carros en una carretera :

5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7

en este caso el número que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.

Promedio Geométrico

La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz en énsima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas(+)

Percentiles

Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser un valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).

Observación

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.

Si $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ son nuestros datos y $w_{1},w_{2},...,w_{n}$ son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente forma:

Archivo:JaimeMedia3.JPG

La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y Archivo:JaimeMedia5.JPG, es otra variable estadística que depende linealmente de x , entonces Archivo:JaimeMedia6.JPG. ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).

Propiedades de la Media o Promedio

La media o Promedio tienen las siguientes propiedades

Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma

Si tenemos :

1 - 2 - 3 - 4

entonces veremos lo siguiente :

Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente.

 Datos : 1 - 2 - 3 - 4      Media : Sumatoria de datos / Número de datos => 10 / 4   => 2.5

Si

 Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1   Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5

Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.

Moda

En estadística la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Archivo:Imagenmarcos1.JPG

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.

Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal.

Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

Archivo:Imagenmarcos2.JPG

Siendo $n_{i}$ la frecuencia absoluta del intervalo modal y $n_{i-1}$ y $n_{i+1}$ las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Calculemos la Mediana:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).

Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas -->

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)

La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo ( N par )

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Fi
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Calculemos la Mediana:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho).

Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar.

En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimo hasta el vigésimo octavo)

con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos.

La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más

Véase también

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

Parámetro estadístico.

Referencias

↑ Férnandez Fernández, Santiago; Alejandro Córdoba, José María Cordero Sánchez, Alejandro Córdoba (2002). «3.3. Medidas de posición». Estadística Descriptiva (2ª edición). ESIC Editorial. p. 134. ISBN 8473563069.

[1] Férnandez Fernández, Santiago; Alejandro Córdoba, José María Cordero Sánchez, Alejandro Córdoba (2002). «3.3. Medidas de posición». Estadística Descriptiva (2ª edición). ESIC Editorial. p. 134. ISBN 8473563069.

[1]