Teorema de Euclides

Existen muchas demostraciones de que hay infinitos números primos. Aquí se muestran algunas de ellas.

Teorema de Euclides (~300 a. C.)

Supongamos que hay un número finito de números primos. Consideramos el producto de todos ellos y le sumamos uno. Al dividir este nuevo número por cada uno de los primos obtenemos de resto uno. Por tanto debe de ser también primo o divisible por un primo que no aparecía en la lista inicial. Llegamos a una contradicción, y por tanto la cantidad de números primos ha de ser infinita.

Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, y algunas de las más conocidas son las siguientes:

Reformulación de Kummer

Supóngase que existe una cantidad finita de números primos p₁ < p₂ < p₃ < ... < p_r. Sea N = p₁·p₂·p₃·...·p_r > 2. El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor p_i que también es divisor de N; así que p_i divide a N - (N-1) = 1. Esto es absurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.

Demostración de Hermite

Sea n=1, 2, 3, ... y q_n el factor primo más pequeño de n! + 1 para cada n. Como q_n tiene que ser mayor que n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.

Demostración de Stieltjes

Supóngase que existe un número finito de números primos. Sea Q el producto de todos los números primos, y sean m y n dos enteros positivos con Q = mn.
Se tiene que todo número primo p divide, o bien a m, o bien a n, pero no a ambos, es decir, m y n son primos entre sí. Entonces m+n no puede tener ningún divisor primo, pero como es estrictamente mayor que 1, debe ser un número primo que no divide a Q: contradicción.

Demostración de Goldbach (1730)

Esta demostración se basa en los números de Fermat, es decir, los números de la forma :$F_{n}=2^{2^{n}}+1$.

Lema: Dos números de Fermat distintos Fm y Fn son primos entre sí. (Goldbach, 1730)

Para cada número de Fermat F_n, escójase un divisor primo p_n. Como los números de Fermat son primos entre sí, sabemos que dos primos cualesquiera p_m y p_n son distintos. Así, hay al menos un número primo p_n por cada número de Fermat F_n, es decir, al menos un número primo por cada número entero n.

Esta demostración también es válida si se toma otra secuencia infinita de números naturales que son primos entre sí, como la secuencia de Sylvester.

Demostración de Euler

Sea Q el producto de todos los primos. Sea φ(n) la función φ de Euler definida como el número de enteros menores que n y coprimos con él. Entonces φ(Q) es igual al producto de los números que resultan de restarle 1 a cada uno de los números primos, es decir,

φ(Q) = (2-1)·(3-1)·(5-1)·(7-1)·(11-1)·... = 1·2·4·6·10·...

Uno de los números enteros coprimos con Q es 1. Aun así, hay al menos otro entero en el intervalo [2,Q] que no tiene factor común con Q. Ese entero no puede tener ningún factor primo, porque están todos en Q, así que debe ser igual a 1, con lo que se llega a una contradicción.

Demostración topológica de Fürstenberg (1955)

Defínase una topología en el conjunto de los números enteros empleando progresiones aritméticas (de -∞ a +∞). Esto genera un espacio topológico. Para cada número p, sea A_p el conjunto de todos los múltiplos de p. A_p es cerrado, porque su complementario es la unión de todas las demás progresiones aritméticas con diferencia p. Ahora, sea A la unión de las progresiones A_p. Si hay un número finito de números primos, entonces A es una unión finita de conjuntos cerrados, y por tanto A es cerrado. Sin embargo, todos los números enteros, salvo -1 y 1, son múltiplos de algún número primo, así que el complementario de A es {-1, 1} que no es abierto. Esto muestra que A no es una unión finita y que existen infinitos primos.