Diferencia entre revisiones de «Transformada de Laplace»
m Revertidos los cambios de 200.121.208.219 a la última edición de 201.236.179.164 |
|||
Línea 101: | Línea 101: | ||
=== Otras transformadas inversas comunes === |
=== Otras transformadas inversas comunes === |
||
+ |
|||
´lhiborder="1"l |
|||
{| border="1" |
|||
1 |
|||
1 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
1 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
11 |
|||
1 |
|||
1 |
|||
|----- |
|----- |
||
| Transformada de Laplace |
| Transformada de Laplace |
Revisión del 22:36 8 jul 2009
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Propiedades
Linealidad
- <f(t) \right\} +
b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
Potencia n-ésima
- , si
Seno
Coseno
Seno hiperbólico
Coseno hiperbólico
Logaritmo natural
Raíz n-ésima
Función de Bessel de primera especie
Función modificada de Bessel de primera especie
Función error
Derivación
- (que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es una función de orden exponencial.
Integración
Desplazamiento de la frecuencia
Desplazamiento temporal en t
Nota: es la función escalón unitario.
Desplazamiento potencia n-ésima
Convolución
Transformada de Laplace de una función con periodo p
Otras transformadas inversas comunes
Transformada de Laplace | Función en el tiempo |
(delta de Dirac) | |
(función escalón unitario) | |
Tabla de las transformadas de Laplace selectas
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:
La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es múltiplo de u(t). Aquí está una lista de las transformadas más comunes:
ID | Función | Dominio en el tiempo |
Dominio en la frecuencia |
Región de la convergencia para sistemas causales |
---|---|---|---|---|
1 | retraso ideal | |||
1a | impulso unitario | |||
2 | enésima potencia retrasada y con desplazamiento en la frecuencia |
|||
2a | n-ésima potencia | |||
2a.1 | q-ésima potencia | |||
2a.2 | escalón unitario | |||
2b | escalón unitario con retraso | |||
2c | Rampa | |||
2d | potencia n-ésima con cambio de frecuencia | |||
2d.1 | amortiguación exponencial | |||
3 | convergencia exponencial | |||
4 | seno | |||
5 | coseno | |||
6 | seno hiperbólico | |||
7 | coseno hiperbólico | |||
8 | onda senoidal con amortiguamiento exponencial |
|||
9 | onda cosenoidal con amortiguamiento exponencial |
|||
10 | raíz n-ésima | |||
11 | logaritmo natural | |||
12 | Función de Bessel de primer tipo, de orden n |
| ||
13 | Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n |
|||
14 | Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0 |
|||
15 | Función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0 |
|||
16 | Función de error | |||
Notas explicativas:
sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para anticausal systems. Véase también causality. |
Relación con otras transformadas
La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.
Véase también
Enlaces externos
- La transformada de Laplace Richard Baraniuk