Ley de Planck

Ley de Planck para cuerpos a diferentes temperaturas

Curvas de emisión de cuerpos negros a diferentes temperaturas comparadas con las predicciones de la física clásica anteriores a la ley de Planck.

La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por la ley de Planck:

$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}$

donde $I(\nu )\delta \nu \,$ es la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias entre $\nu \,$ y $\nu +\delta \nu \,$.

El siguiente cuadro muestra la definición de cada símbolola en unidades de medidas del SI y CGS:

Símbolo	Significado	Unidades SI	Unidades CGS
$I,I'\,$	Radiancia espectral, o es la cantidad de energía por unidad de superficie, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia o longitud de onda (tal como se especifique)	J s -1 m -2 sr -1 Hz -1 , o J s -1 m -2 sr -1 m -1	erg s -1 cm -2 Hz -1 sr -1 , o erg s -1 cm -2 sr -1 cm -1
$\nu \,$	frecuencia	hercios (Hz)	hercios
$\lambda \,$	longitud de onda	metro (m)	centímetros (cm)
$T\,$	temperatura del cuerpo negro	Kelvin (K)	kelvin
$h\,$	Constante de Planck	julio s segundo (J s)	erg s segundo (erg s)
$c\,$	velocidad de la luz	metros por segundo (m / s)	centímetros por segundo (cm / s)
$e\,$	base del logaritmo natural, 2,718281 ...	dimensiones	adimensional
$k\,$	Constante de Boltzmann	julios por kelvin (J / K)	ergios por cada grado Kelvin (erg / K)

La longitud de onda en la que se produce el máximo de emisión viene dada por la ley de Wien y la potencia total emitida por unidad de área viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Por lo tanto, a medida que la temperatura aumenta el brillo de un cuerpo cambia del rojo al amarillo y al azul.

Poder emisivo

Se llama Poder emisivo espectral de un cuerpo $E(\nu ,T)\,$ a la cantidad de energía radiante emitida por la unidad de superficie y tiempo entre las frecuencias $\nu \,$ y $\nu +\delta \nu \,$. Se trata por tanto de una potencia.

$E(\nu ,T)=\pi \cdot I(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}$

Consideremos el intervalo de frecuencias entre $\nu \,$ y $\nu +\delta \nu \,$ y sea dE el poder emisivo del cuerpo en el intervalo de frecuencias.

$dE=E(\nu ,T)d\nu \,$

considerando que la longitud de onda se relaciona con la frecuencia:

$\lambda ={\frac {c}{\nu }}$ y por tanto $d\nu ={\frac {-c}{(\lambda )^{2}}}d\lambda$

resulta que el poder emisivo espectral en función de la longitud de onda es:

$E(\lambda ,T)={C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}$

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

$C_{1}=2\pi hc^{2}=3,742\cdot 10^{-16}{W\cdot m^{2}}\,$

$C_{2}={hc \over k}=1,4385\cdot 10^{-2}{m\cdot K}$

De la Ley de Planck se derivan la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien.

Unidades

Si usamos el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS, la longitud de onda se expresaría en metros, el poder emisivo en un intervalo de frecuencias dE en ${\frac {W}{m^{2}}}$ y el poder emisivo por unidad de longitud o poder emisivo espectral $E(\lambda ,T)={\frac {dE}{d\lambda }}$ en ${\frac {W}{m^{3}}}$ vatios por metro cúbico.

No es común expresar la longitud de onda en metros. Con frecuencia resulta cómodo expresarla en nanómetros llamados antiguamente milimicras $1nm=10^{-9}m$, pero manteniendo la unidad de dE en ${\frac {W}{m^{2}}}$, en este caso:

${\frac {C_{1}\cdot d\lambda }{\lambda ^{5}}}=3,742\cdot 10^{20}{W\cdot m^{2}}\cdot {\frac {d\lambda (nm)}{\lambda ^{5}(nm)}}\,$

${\frac {C_{2}}{\lambda }}=1,439\cdot 10^{7}{\frac {m\cdot K}{\lambda (nm)}}$

Si queremos expresar el poder emisivo espectral $E(\lambda ,T)\,$ en la unidad práctica ${\frac {cal}{cm^{2}\cdot mto\cdot \mu m}}$, donde $1\mu m=10^{-6}m$ es 1 micrómetro o micra se puede usar el factor de conversión:

$1{\frac {W}{m^{3}}}=1,434\cdot 10^{-9}{\frac {cal}{cm^{2}\cdot mto\cdot \mu m}}$

Ejemplos de la ley de Planck

• La aplicación de la Ley de Planck al Sol con una temperatura superficial de unos 6000 K nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 0,15 $\mu m$ (micrómetros o micras) y 4 micras y su máximo (Ley de Wien) ocurre a 0,475 micras. Como 1 nanómetro 1 nm = 10^-9 m=10^-4 micras resulta que el Sol emite en un rango de 150 nm hasta 4000 nm y el máximo ocurre a 475 nm. La luz visible se extiende desde 400 nm a 740 nm. La radiación ultravioleta u ondas cortas iría desde los 150 nm a los 400 nm y la radiación infrarroja u ondas largas desde las 0,74 micras a 4 micras.

• La aplicación de la Ley de Planck a la Tierra con una temperatura superficial de unos 288 K (15ºC) nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 3 $\mu m$ (micrómetros o micras) y 80 micras y su máximo ocurre a 10 micras. La estratosfera de la Tierra con una temperatura entre 210 y 220 K radia entre 4 y 120 micras con un máximo a las 14,5 micras.

Véase también

• Max Planck
• Unidades de Planck
• Constante de Planck
• Ley de Stefan-Boltzmann
• Ley de Wien
• Radiación térmica
• Radiación solar
• Radiación terrestre

Enlaces externos

• Planck, Max, "La distribución de la energía en el espectro visible". Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 ff (1901).
• Al descubierto un fallo en la Ley de Planck "[1]"

Bibliografía

• Emilio A. Caimi "La energía radiante en la atmósfera" EUDEBA 1979