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Diferencia entre revisiones de «Divisibilidad»

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Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los [[número]]s que no admiten más que estos dos divisores se denominan [[número primo|números primos]]. Los que admiten más de dos divisores se llaman [[número compuesto|números compuestos]]
Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los [[número]]s que no admiten más que estos dos divisores se denominan [[número primo|números primos]]. Los que admiten más de dos divisores se llaman [[número compuesto|números compuestos]]

== Propiedades ==

Sean <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>, es decir <math>\ a</math>, <math>\ b</math> y <math>\ c</math> son [[número entero|números enteros]]. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

#<math>a\mid a</math> (Propiedad Refleja).
#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>a\mid c</math> (Propiedad Transitiva).
#Si <math>a\mid b</math> , entonces <math>|a|\leq |b|</math>.
#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid c</math>, entonces <math>a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}</math>.
#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid b \pm\ c</math>, entonces <math>a\mid c</math>
#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid a</math>, entonces <math>\ |a|=|b|</math>.
#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\neq 0</math>, entonces <math>\frac{b}{a}\mid b</math>.
#Para <math>c\neq 0</math>, <math>a\mid b</math> si y sólo si <math>ac\mid bc</math>
#Si <math>a\mid bc</math> y [[Máximo común divisor|<math>\ mcd(a,b)=1</math>]], entonces <math>a\mid c</math>.
#Si <math>\ mcd(a,b)=1</math> y <math>\ c</math> cumple que <math>a\mid c</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>ab\mid c</math>.

Como <math>0=0\cdot n</math> y <math>n=n\cdot 1</math> se tiene que <math>n\mid 0</math> y <math>1\mid n</math> para todo <math>\ n</math> entero. Si <math>\ m</math> no es divisible por <math>\ n</math> escribimos <math>n\nmid m</math>. Notemos que <math>0\nmid m</math> para todo <math>\ m</math> distinto de cero, pues <math>m\neq 0=k\cdot 0</math> para todo <math>\ k</math> entero.
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== Criterios de divisibilidad ==
== Criterios de divisibilidad ==
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|'''[[Once|11]]'''
|'''[[Once|11]]'''
|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es |'''[[Diecisiete|17]]'''
|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.

Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.
|42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11


44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
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|'''[[Doce|12]]'''
|El número es divisible por 3 y 4.
|528: Ver criterios anteriores.
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|rowspan=2|'''[[Trece|13]]'''
|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es.
|364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
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|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.
|432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
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|'''[[Catorce|14]]'''
|El número es divisible por 2 y por 7.
|224: Ver criterios anteriores
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|'''[[Quince|15]]'''
|El número es divisible por 3 y por 5.
|255: Ver criterios anteriores
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|'''[[Dieciséis|16]]'''
|El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16.
|254176: porque 4176 es múltiplo de 16.
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|'''[[Diecisiete|17]]'''
|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17.
|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17.
|493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
|493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
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|El número es divisible por 2 y por 13.
|El número es divisible por 2 y por 13.
|234: Ver criterios anteriores
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|'''[[Veintiocho|28]]'''
|El número es divisible por 4 y por 7.
|336: Ver criterios anteriores
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|'''[[Treinta|30]]'''
|'''[[Treinta|30]]'''
|El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
|El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Revisión del 03:28 27 ago 2009

Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

Propiedades

Sean , es decir , y son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

  1. (Propiedad Refleja).
  2. Si y , entonces (Propiedad Transitiva).
  3. Si , entonces .
  4. Si y , entonces .
  5. Si y , entonces
  6. Si y , entonces .
  7. Si y , entonces .
  8. Para , si y sólo si
  9. Si y , entonces .
  10. Si y cumple que y , entonces .

Como y se tiene que y para todo entero. Si no es divisible por escribimos . Notemos que para todo distinto de cero, pues para todo entero. .

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cero o cifra par. 378: porque "8" es par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.
7 Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. 469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7. 52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: La última cifra es 0.
11 Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.

Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11


44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11

12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.
13 Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es. 364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es. 432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
14 El número es divisible por 2 y por 7. 224: Ver criterios anteriores
15 El número es divisible por 3 y por 5. 255: Ver criterios anteriores
16 El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16. 254176: porque 4176 es múltiplo de 16.
17 Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17. 493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
18 El número es divisible por 2 y por 9. 576: Ver criterios anteriores
19 Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le suma esta última cifra multiplicada por 2, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 19. 323: porque 32+3·2 = 38 es múltiplo de 19.
20 El número acaba en cero y la penúltima cifra es par. 480: porque acaba en 0 y 8 es par.
21 El número es divisible por 3 y por 7. 231: Ver criterios anteriores
22 El número es divisible por 2 y por 11. 220: Ver criterios anteriores
24 El número es divisible por 3 y por 8. 480: Ver criterios anteriores
25 Las dos últimas cifras son 00 ó múltiplo de 25. 9325: porque acaba en 25
26 El número es divisible por 2 y por 13. 234: Ver criterios anteriores
28 El número es divisible por 4 y por 7. 336: Ver criterios anteriores
30 El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 690: porque acaba en cero y 6+9+0 = 15 es múltiplo de 3

Véase también