Diferencia de conjuntos

Diferencia de conjuntos: A-B

Diferencia de conjuntos: B-A

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, y se representa por A -B o por A \ B, al conjunto formado por todos los elementos que están en A, pero no están en B.

Definición formal

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es

$A-B=\{x\in A\;\land \;x\not \in B\}$

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos $A-B$ son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplos

• Si A = {a, b, c, d} y B = {b, d}; la diferencia de conjuntos A - B es

$A-B=\{a,c\}.$

• Si A = { a, b, c, d } y B = { c, d, e, f }; entonces A - B = { a, b }

• Si W = {x / x impar y x < 13} y Z = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }; entonces

$W-Z=\{1,3,5\}$

y

$Z-W=\{8,10,12,13\}$

Observaciones

• La notación más utilizada es A - B, si bien algunos autores también utilizan la notación A \ B.
• La diferencia de conjuntos no es conmutativa.
• Los elementos de la intersección no se consideran parte de la Diferencia de Conjuntos.

• Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces la diferencia de conjuntos es:

$A-B=A\,$

y

$B-A=B\,$

Diferencia simétrica

Diferencia Simétrica: $A\triangle B$

Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:

$A\triangle B=(A-B)\cup (B-A)$

$A\triangle B=(A\cup B)-(B\cap A)$

Propiedades

• $A-A=\varnothing \,$
• $A-\varnothing \ =A$
• $\varnothing \ -A=\varnothing \,$
• $A-B=A\cap B^{C}$
• $A\subset B\iff A-B=\varnothing$
• $A-(A-B)=A\cap B$
• $A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$

Véase también

• Intersección de conjuntos
• Unión de conjuntos
• Complemento de un conjunto