Función logística

Curva logística

La función logística o curva logística modeliza la función sigmoidea de crecimiento de un conjunto P. El estadio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competición entre algunos miembros de P por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene.

Una ecuación logística se define por la fórmula matemática:

$P(t)=a{\frac {1+me^{-t/\tau }}{1+ne^{-t/\tau }}}\!$

para parámetros reales a, m, n, y $\tau$. Estas funciones tienen un campo de aplicación muy amplio, desde la biología a la economía.

Ejemplo: el desarrollo embrionario

En el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene.

La ecuación Verhulst

Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del crecimiento poblacional según el cual:

• la tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
• la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.

El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

Si P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

${\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\qquad {\mbox{(1)}},\!$

donde la constante $r$ define la tasa de crecimiento y $K$ es la capacidad de persistencia. La solución general a esta ecuación es una función logística. Con una población inicial $P_{0}$:

$P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}$

donde

$\lim _{t\to \infty }P(t)=K.\,$

Historia

La ecuación Verhulst fue publicada por primera vez por Pierre François Verhulst en 1838 después de haber leído el "Ensayo sobre el principio de población" de Thomas Malthus.

Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento auto-limitado de una población biológica. En ocasiones, la ecuación es también llamada "ecuación Verhulst-Pearl" por su redescubrimiento en 1920. Alfred J. Lotka obtuvo de nuevo la ecuación en 1925, llamándola "ley del crecimiento poblacional".

Referencias

• Kingsland, S. E. (1995) Modeling nature ISBN 0-226-43728-0

Véase también

• crecimiento logístico
• crecimiento exponencial