Distribución hipergeométrica

Distribución hipergeométrica
Parámetros	${\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,$
Dominio	$\scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,$
Función de probabilidad (fp)	${{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
Media	$nm \over N$
Moda	$\left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Varianza	$n(m/N)(1-(m/N))(N-n) \over (N-1)$
Coeficiente de simetría	${\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Curtosis	$\left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]$ $\cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.$ $+\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]$
Función generadora de momentos (mgf)	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
Función característica	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos $N$, $d$ y $n$ cuya función de probabilidad es:

$P(X=x)={\frac {{d \choose x}{N-d \choose n-x}}{N \choose n}}$

$N$ = Tamaño de población.

$n$ = Tamaño de muestra.

$d$ = Cantidad de elementos que cumple característica deseada.

$x$ = Cantidad de éxitos.

Aquí, ${a \choose b}$ se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al seleccionar $b$ elementos de un total $a$.

Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos $x$ de uno de los tipos, al extraer (sin reemplazo) una muestra de tamaño $n$, de un total de $N$ objetos, de los cuales $d$ son del tipo requerido.

El valor esperado de una variable aleatoria $X$ de distribución hipergeométrica es

$E[X]=(n){\bigg (}{d \over N}{\bigg )}$

Y su varianza

$Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}(n){\bigg (}{\frac {d}{N}}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}}{\bigg )}$

llamando

$p={\frac {D}{N}}$    ,     $q=1-p\,$     entonces:   $Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}}$

La distribución hipergeométrica se puede aproximar por una distribución binomial $Bi(n,p)$ si

$n\leq {\frac {N}{10}}$    y     $N\geq 50$