Diferencia entre revisiones de «Sucesión (matemática)»

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Una '''secuencia''' es una concatenación de símbolos obtenidos a partir de una [[sucesión]]. Son semejantes a las sucesiones y se pueden derivar fácilmente de éstas.
[[imagen:sucesión_definida_explícitamente.png|right|thumb|300px|Representación de una [[función matemática|función]] (trazo continuo) y una sucesión (puntos rojos)]]
Una '''[[wiktionary:es:sucesión|sucesión]] matemática''' es una [[Aplicación matemática|aplicación]] definida sobre los [[número natural|números naturales]]. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente ''n'' (por ''natural'') en vez de ''x'', habitual para las variables [[número real|reales]].


== Definición ==
Por convención, se escribe u<sub>n</sub> (en vez de u(n)), la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u<sub>0</sub>).


Sea un alfabeto <math>A=\{a_0, a_1,... a_k\}</math>. Una secuencia de longitud <math>l</math> es una cadena de símbolos de A dada por
:<math>
\begin{matrix}
u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\


:<math>s= \{ s_0, s_1,... s_l\}</math>
& n & \to & u_n
\end{matrix}
</math>


donde


Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.

También asociado a una sucesión está el concepto de [[convergencia]].

===Definición explícita===
La definición es '''explícita''' cuando se da una fórmula que permite hallar u<sub>n</sub> mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que ''n''. En otras palabras, u<sub>n</sub> es una función de ''n'': '''u<sub>n</sub> = f(n)'''.

Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas [[Coordenadas_cartesianas|abscisas]] son los enteros naturales.

Cuando la función ''f'' es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de ''f'' ([[límite]] en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente ''u'':
* Si ''f'' tiende hacia ''l'' (en + ∞) entonces también lo hace ''u''. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que u<sub>n</sub> = f(n) es siempre nulo y ''u'' tiende por lo tanto hacia cero.
* Si ''f'' es creciente en un [[intervalo (matemática)|intervalo]] [a; b] entonces ''u'' lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ <math>\mathbb{N}</math>).
* Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de ''f'' no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los u<sub>n</sub> correspondientes. En la figura, ''f'' tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u<sub>2</sub> < u<sub>3</sub>, u<sub>2</sub> es un mínimo relativo de ''u''. El máximo relativo de ''f'' en ]6; 7[ da dos máximos relativos de ''u'' porque u<sub>6</sub> = u<sub>7</sub>.

Sin embargo, existen métodos para estudiar ''u'' sin estudiar ''f'': el sentido de variación se puede determinar con el signo de u<sub>n+1</sub> - u<sub>n</sub> (si es positivo, ''u'' crece), o comparando la fracción u<sub>n+1</sub>/u<sub>n</sub> con 1 (apropiado cuando ''u'' es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando ''f'' tiene una [[función derivada]] complicada.

En algunos casos, la función ''f'' que aparece en u<sub>n</sub> = f(n) no puede extenderse a <math>\mathbb{R}</math>. Es el caso si definimos u<sub>n</sub> como el ''número de factores propios de n'' por ejemplo, u otras funciones [[aritmética]]s, como la [[función fi de Euler]] o la [[Función de Möbius]] µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.

[[imagen:sucesión_definida_por_inducción.png|right]]

===Definición implícita===
La definición es '''implícita''' cuando u<sub>n</sub> no sólo depende de ''n'' sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.<br/>
Por ejemplo se puede fijar u<sub>o</sub> = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, u<sub>n</sub> = n·u<sub>n-1</sub>. Para hallar u<sub>3</sub> digamos, hay que calcular u<sub>2</sub> lo que necesita el conocimiento de u<sub>1</sub> el cual se calcula con u<sub>o</sub>. <br/>
Obtenemos: u<sub>1</sub> = 1×u<sub>0</sub> = 1, luego u<sub>2</sub> = 2×u<sub>1</sub> = 2 y por fin u<sub>3</sub> = 3×u<sub>2</sub> = 6. Son los [[factorial]]es.

Otro ejemplo muy conocido es la [[sucesión de Fibonacci]] definida por u<sub>n+2</sub>&nbsp;=&nbsp;u<sub>n+1</sub>&nbsp;+&nbsp;u<sub>n</sub>.<br/>
La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama ''relación de '' [[inducción matemática|inducción]].

Cuando el término general u<sub>n</sub> sólo depende del término anterior , u<sub>n-1</sub>, es decir cuando existe ''f'' tal que '''u<sub>n</sub> = f(u<sub>n-1</sub>)''' o; lo que viene a ser lo mismo '''u<sub>n+1</sub> = f(u<sub>n</sub>)''' (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo (ver imagen):

En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación ''y = x'').
Se empieza por el punto de abscisa del eje horizontal u<sub>o</sub> y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u<sub>1</sub> = f(u<sub>o</sub>), la ordenada de este punto es u<sub>1</sub>. Sin embargo para obtener u<sub>2</sub> necesitamos tener u<sub>1</sub> en las abscisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abscisa y ordenada son iguales (por su ecuación ''y = x''), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abscisas lo que nos permite leer el valor de u<sub>1</sub>. A partir de ahí el proceso se repite igual, pues u<sub>2</sub> = f(u<sub>1</sub>) etcétera.<br/>

En la práctica, basta trazar la ''escalera'' entre la curva y la diagonal para evidenciar el comportamiento de la sucesión ( creciente, decreciente u oscilatoria) y su eventual límite denotado ''l'' (ele): si es finito, tiene que ser la abscisa de un punto de intersección de la curva de ''f'' y de la diagonal porque tiene que verificar '''l = f(l)''', relación obtenida ''tomando el límite'' de ''u<sub>n</sub> = f(u<sub>n-1</sub>)'' ( con f [[continuidad|continua]]). Si se acepta la notación f(+ ∞) para designar el límite en el infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos.

Supongamos ''f'' continua y derivable en ''l'', límite potencial de la sucesión. Entonces se puede predecir su comportamiento local cerca de ''l'' (es decir si u<sub>n</sub> es próximo a ''l'', como evoluciona la sucesión a partir de este término). Este comportamiento, en primera aproximación, sólo depende de f '(l), el [[función derivada|valor derivado]] en ''l'':

{| align="center"
| [[imagen:sucesión_punto_repulsivo_con_oscilación.png]]
| [[imagen:sucesión_punto_atractivo_con_oscilación.png]]
|-
| [[imagen:sucesión_punto_atractivo_con_monotonía.png]]
| [[imagen:sucesión_punto_repulsivo_con_monotonía.png]]
|}

----

Los tipos de sucesiones más comunes son:

* Las [[Sucesión_matemática#Las_sucesiones_aritméticas|sucesiones aritméticas]]
* Las [[Sucesión_matemática#Las_sucesiones_geométricas|sucesiones geométricas]]
* Las [[Sucesión_matemática#Las_sucesiones_aritmeticogeométricas|sucesiones aritmeticogeométricas]]

==Las sucesiones aritméticas==
{{AP|Progresión aritmética}}
Una '''sucesión aritmética''' puede ser definida como función de ''n'':
:<math>u_n = u_0 + r \cdot n \qquad (r \in \mathbb{R})</math>

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:
:<math>
:<math>
\begin{matrix}
\begin{matrix}
u_0 & = & a \qquad & (a \in \mathbb{R}) \\
s_n:& \mathbb{N} & \to & A \\
u_{n+1} & = & u_n + r & (r \in \mathbb{R})
\end{matrix}
</math>
Al número real ''r'' se le denomina '''razón''' de la sucesión.


& n & \to & a_i
Si la razón es positiva, la sucesión '''crece''', y tiende hacia + ∞.
Si es negativa, '''decrece''' y tiende hacia - ∞.
Si es nula, la sucesión es '''constante'''.

Ejemplo:
[[imagen:sucesión aritmética.png|center]]

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:

{| align="center" style="text-align: center;"
| <math>S = \frac {\mbox{n}\acute{\mbox{u}}\mbox{mero de t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rminos} \times (\mbox{primer t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino} + \acute{\mbox{u}}\mbox{ltimo t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino} )} {2}</math>
|-
| <math>S = u_0 + u_1 + \cdots u_n = \frac {(n + 1)(u_0 + u_n)} {2}</math>
|-
| <math>S = u_1 + u_2 + \cdots u_n = \frac {n(u_1 + u_n)} {2}</math>
|}

Como caso particular muy frecuente: <math>1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale ''a'', el último vale ''b'', y la razón es ''r'', entonces el número de términos en la suma es:
:<math>\frac{|b - a|}{r} + 1</math>

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 de términos consecutivos de una sucesión de razón 7, encontramos <math>\frac{2003 - 1492}{7} + 1 = 74</math> términos, y la suma es <math>\frac {74 \times (1492 + 2003)}{2} = 129 315</math>.

==Las sucesiones geométricas==
{{AP|progresión geométrica}}
Una '''sucesión geométrica''' puede ser definida como función de ''n'':
:<math>u_n = b \cdot r^n \qquad (r \in \mathbb{R})</math>

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:
:<math>
\begin{matrix}
u_0 & = & b \qquad & (b \in \mathbb{R}) \\
u_{n+1} & = & r \cdot u_n & (r \in \mathbb{R})
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>
</math>


== Ejemplos ==
Al número real ''r'' se le denomina también '''razón''' de la sucesión. A menudo se la denota ''q''.


Como se indicaba antes, la forma más sencilla de derivar secuencias es a partir de sucesiones. Por ejemplo, basándonos en la [[sucesión de Fibonacci]] es relativamente sencillo definir una secuencia para el alfabeto <math>A=\{0,1\}</math> según el siguiente método:
Ejemplo:
[[imagen:sucesión geométrica.png|center]]


El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.

Si la razón es positiva, entonces la sucesión es '''monótona''', y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo [[exponencial]] de base ''r'': <math>u_n = b \cdot r^n</math> se prolonga en '''f(''x'') = ''b''·''r''<sup>''x''</sup>'''.

Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva representa la función:
[[imagen:sucesión_geométrica_función.png|center]]

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es '''oscilante'''. Se distinguen dos casos en función de si ''r'' es menor que -1 ó no. El signo del primer término no modifica el ''aspecto general'' de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias ''r<sup>n</sup>'' con ''r'' negativo no se generalizan a los reales, salvo convención particular, y por lo tanto no existe una función ''natural'' que prolongue la sucesión. En la figura siguiente se ha multiplicado la función ''' |''r''|<sup>''x''</sup>''' por el factor '''cos π''x'' ''' para simular el cambio periódico de signo.
[[imagen:sucesión_geométrica_función2.png|center]]

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:
:si |''r''| > 1, no converge, y si |''r''| < 1, converge hacia [[cero]].

Notemos ''q'' la razón, y supongamos ''q'' ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:
{| align="center" style="text-align: center;"
| <math>S = \frac {\mbox{primer t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino} - \mbox{t}\acute{\mbox{e}}\mbox{rmino que sigue al }\acute{\mbox{u}}\mbox{ltimo de la suma}} {1 - \mbox{raz}\acute{\mbox{o}}\mbox{n}}</math>
|-
| <math>S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \frac {1 - q^{n+1}} {1 - q} = \frac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}</math>
|-
| <math>S = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = u_1 \frac {1 - q^n} {1 - q} = \frac {u_1 - u_{n+1}} {1 - q}</math>
|}

Si -1 < ''q'' < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es: <math>S = \frac{u_0}{1 - q}</math>.

===Fórmulas===
Suponiendo que <math>A_n</math> sea el término cualquiera, <math>A_k</math> el término que ocupa la posición "k", y <math>A_1</math> el primer término de la sucesión:

Para hallar un término cualquiera en una sucesión geométrica, se debe usar: <math>A_n = A_k \cdot r^{n-k}</math>

Para sumar los "n" primeros términos de una sucesión geométrica: <math>S_n = \frac {A_n \cdot r - A_1} {r - 1}</math>

Para sumar todos los números de una sucesión (Suma infinita): <math>S_\infty = \frac {A_1} {1-r} </math> . Esta fórmula sólo es aplicable cuando <math>\ 0< r <1 </math>

Para calcular el producto de los nº primeros términos de una sucesión: <math>P_n = \sqrt{(A_n \cdot A_1)^n}</math>

==Las sucesiones aritmeticogeométricas==
Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones anteriores. Se pueden definir por inducción de la siguiente forma:
:<math>
:<math>
s(n)= \left\{
\begin{matrix}
\begin{matrix}
w_0 & = & c \qquad \quad \ & (c \in \mathbb{R}) \quad \\
1 & \mbox{si n esta en la sucesion de Fibonacci} \\
w_{n+1} & = & q \cdot w_n + r & (q, r \in \mathbb{R})
0 & \mbox{en otro caso}
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>
\right.
</math>


Que obtendría la siguiente secuencia de dígitos binarios:
La fórmula de inducción hace intervenir la suma de la sucesión aritmética, y el producto de la sucesión geométrica.


:1110100100001000000010000000000001...
Descartemos los casos ''q'' = 1 (sucesión aritmética) y ''r'' = 0 (sucesión geométrica). Entonces se puede afirmar que el comportamiento de la sucesión es de tipo geométrico, y determinado por ''q'', y que su carácter aritmético solo aparece como una translación.

Más precisamente, sea '''l''' el único número que verifica ''l'' = ''ql'' + ''r''.

Si ''w''<sub>0</sub> = ''l'' (lo que equivale a ''w''<sub>1</sub> = ''w''<sub>0</sub> ) entonces ''w'' será una sucesión constante.
Si no es fácil ver que ''v''<sub>1</sub> = ''w<sub>n</sub>'' - ''l'' es una sucesión geométrica (no nula) de razón q, y que por lo tanto:
:si |''q''| > ''1'', ''w'' no converge (porque no lo hace ''v'')
:si |''q''| < 1, ''w'' converge hacia ''l'' (porque ''v'' tiende hacia 0).

Lógicamente, la clasificación del párrafo anterior según los valores de ''q'' sigue siendo válida si trasladamos las curvas verticalmente de ''l'' unidades.


Algunas secuencias, como la derivada de la [[sucesión de Thue-Morse]] (también definida para un alfabeto binario) han sido estudiadas y aplicadas en diferentes ámbitos tales como el ajedrez, la generación de música fractal por autosimilaridad o la codificación de señales (por ejemplo los códigos Gray).


== Véase también ==
== Véase también ==
* [[Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros]]


[[Categoría:Análisis matemático]]
* [[Número de Perrin]]
* [[Secuencia de Padovan]]
* [[Sucesión de Cauchy]]
* [[Sucesión de Farey]]
* [[Sucesión de Fibonacci]]
* [[Sucesión de Goodstein]]
* [[Sucesión de Thue-Morse]]
* [[Sucesión exacta]]
* [[Ecuaciones en diferencias]]
* [[Transformada Z]]
* [[Serie matemática]]

==Enlaces externos==
{{commons|Sequence}}

*[http://www.quizma.cl/matematicas/centrodecalculo/sucesion/index.htm Calculo de la fórmula de una Sucesión]


<!-- {{EL}} -->
-------------
''El contenido de este artículo incorpora material de una [http://enciclopedia.us.es/index.php/Sucesi%C3%B3n entrada de la Enciclopedia Libre Universal], publicada en castellano bajo la licencia [[GFDL]].''
-------------

[[Categoría:Diferencia finita]]
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[[simple:Sequence]]
[[sl:Zaporedje]]
[[sr:Низ]]
[[sv:Följd]]
[[ta:தொடர்வரிசை]]
[[th:ลำดับ]]
[[uk:Послідовність (математика)]]
[[ur:متوالیہ (ریاضی)]]
[[vi:Dãy (toán học)]]
[[zh:序列]]

Revisión del 14:08 6 oct 2009

Una secuencia es una concatenación de símbolos obtenidos a partir de una sucesión. Son semejantes a las sucesiones y se pueden derivar fácilmente de éstas.

Definición

Sea un alfabeto . Una secuencia de longitud es una cadena de símbolos de A dada por

donde

Ejemplos

Como se indicaba antes, la forma más sencilla de derivar secuencias es a partir de sucesiones. Por ejemplo, basándonos en la sucesión de Fibonacci es relativamente sencillo definir una secuencia para el alfabeto según el siguiente método:

Que obtendría la siguiente secuencia de dígitos binarios:

1110100100001000000010000000000001...

Algunas secuencias, como la derivada de la sucesión de Thue-Morse (también definida para un alfabeto binario) han sido estudiadas y aplicadas en diferentes ámbitos tales como el ajedrez, la generación de música fractal por autosimilaridad o la codificación de señales (por ejemplo los códigos Gray).

Véase también

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