Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,$

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zⁿ = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Obtención

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

$e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$

aplicando leyes de la exponenciación

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,$

Entonces, por la fórmula de Euler,

$e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,$.

Derivaciones

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

$e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$

Si hacemos que $x=\pi$ entonces tenemos la fórmula de Euler:

$e^{i\pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\sin \pi =-1+0=-1$

Es decir:

$e^{i\pi }=-1\,$

Además como tenemos estas dos igualdades:

$e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x\,$

$e^{-ix}=\cos x-\mathrm {i} \,\sin x\,$

podemos deducir lo siguiente:

$\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\,$

$\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2\mathrm {i} \,$

Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,$

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad {\mbox{por la hipotesis de induccion}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonometricas}}\end{alignedat}}$

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1$, y (por convención) $z^{0}=1$.

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto: ${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{alignedat}}$

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

Generalización

Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}$

es una función multivaluada mientras

$\cos(wz)+i\sin(wz)\,$

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

$\cos(wz)+i\sin(wz)\,$     es un valor de     $\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,$.

Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar las raíces enésimas de un número complejo. Si $z$ es un número complejo escrito en la forma polar

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

entonces

$z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]$

dónde $k$ es un entero, para obtener las $n$ raíces diferentes de $z$ solamente se necesita considerar valores de $k$ que vayan desde $0$ a $n-1$.

Véase también

• Fórmula de Euler
• Raíz de la unidad