Wronskiano

En matemática, el Wronskiano es una función llamada así por el matemático Polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Dado un conjunto de n funciones, f₁, ..., f_n, el Wronskiano W(f₁, ..., f_n) está dado por:

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

El Wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el Wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.

El Wronskiano y dependencia lineal

El Wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado:

• Si el Wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes, quizás podamos usar el Wronskiano. Note que si el Wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes. Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si $W=0$ en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - este no es el caso, como se puede ver claramente en el tercer ejemplo más adelante.

• Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, entonces el Wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo.

De hecho, estas dos declaraciones son lógicamente equivalentes (por transposición); simplemente son declaraciones alternativas de la misma verdad. Una prueba del teorema se muestra a continuación.

Ejemplos

• Considere las funciones $x^{2},$ $x,$ y $1,$ definidas para un número real x. Obtenga el Wronskiano:

$W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.$

Vemos que $W$ no es cero uniforme, así que estas funciones deben ser linealmente independientes.

• Considere las funciones $2x^{2}+3$, $x^{2}$, y $1$. Estas funciones son claramente dependientes, ya que $2x^{2}+3=2(x^{2})+3(1)$. Así, el Wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

$W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.$

• Como se mencionaba anteriormente, si el Wronskiano es cero, esto no significa en general que las funciones involucradas son linealmente dependientes. Considerando las funciones $x^{3}$ y $|x^{3}|$; esto es, el valor absoluto de $x^{3}$. La segunda función puede ser escrita así:

$|x^{3}|=\left\{{\begin{matrix}-x^{3},&\mathrm {si} \;x<0\\x^{3},&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.$

Uno puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre el conjunto de número reales, sin embargo, su Wronskiano parece ser cero:

$W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.$

Definición abstracta

Hay un sentido en el que el Wronskiano de una ecuación diferencial lineal de orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea uno debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.

Comprobación: El Wronskiano y dependencia lineal

El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la matriz Wronskiana asociada (diferenciación es una operación lineal); consecuentemente, el determinante Wronskiano es cero en todos los puntos del intervalo.

Enlaces externos

• More on the Wronskian, Paul's Online Math Notes (Notas Matemáticas en Línea de Paul) (en inglés)