Base (álgebra)

En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:

• Todos los elementos de la base B deben pertenecer al espacio vectorial V.
• Todos los elementos de la base B deben ser linealmente independientes.
• Todo elemento de V se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de la base B, es decir B es un sistema generador de V.

Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. En este caso, tal cardinalidad sera llamada como la dimensión del espacio vectorial.

Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn:

• Todo sistema generador de un espacio vectorial contiene una base.
• Todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial, puede ser extendido a una base.

Bases de Hamel y de Hilbert

En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de combinación lineal finita. De un lado si consideramos únicamente combinaciones lineales finitas llegamos al concepto de base de Hamel o base lineal. Puede probarse que todas las bases de Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o cardinal se llama dimensión lineal o dimensión de Hamel. Un conjunto constituye una base de Hamel si y solo si:

$B_{Ham}:{\mbox{base de Hamel}}\Rightarrow$

$\exists \lambda _{i}\in \mathbb {K} \quad \land \quad \exists x_{i}\in B_{Ham}:\quad x=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}x_{i}$

En un espacio de dimensión de Hamel finita, se puede encontrar solamente un número finito de vectores ortogonales dos a dos, en cambio, cuando la dimensión de Hamel es infinita, pueden introducirse en los espacios de Hilbert ciertas "combinaciones lineales infinitas" en términos de vectores ortogonales. En un espacio de Hilbert de dimensión infinita se dice que un conjunto es una base de Hilbert o base ortogonal, si y solo si:

$B_{Hil}:{\mbox{base de Hilbert}}\Rightarrow$

$\exists \lambda _{i}\in \mathbb {K} \quad \land \quad \exists x_{i}\in B_{Hil}\quad \land \quad \langle x_{i},x_{j}\rangle =0(i\neq j):\quad x=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}$

Nuevamente sucede que todas las bases ortogonales tienen el mismo cardinal, por lo que se define el concepto de dimensión de Hilbert como el cardinal de cualquier base de Hilbert.

Dimensión vectorial

La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V, la relación entre dimensión de Hammel y dimensión de Hilbert es la siguiente:

(1)$dim_{Ham}V\geq dim_{Hil}V$

En espacios de dimensión finita también se pueden definir las bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonales. De hecho, para un espacio de dimensión finita, la dimensión de Hilbert es igual a la dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en (1) se da siempre la igualdad.

Observaciones adicionales

1) Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales.

2) De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo espacio vectorial. Por ejemplo, si $V=\mathbb {R} ^{3}$, una posible base de V es:

${\mathcal {B}}=\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}$

Pero otras posibles bases de V son:

${\begin{cases}{\mathcal {B}}'=\{(2,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}\\{\mathcal {B}}''=\{(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0)\}\\{\mathcal {B}}'''=\{(504,0,0);(0,7,0);(0,0,1/2)\}\end{cases}}$

En general, una base cualquiera estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a $\mathbb {R} ^{3}$. Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces necesariamente existe un número finito de bases.

3) Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.

4) No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X: ${\mathcal {B}}=\{1,X,X^{2},X^{3},\dots \}$

Temas relacionados

• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial

Véase también

• Método de ortogonalización de Gram-Schmidt