Regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli​ es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}$

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.​

Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo ${\begin{matrix}{\frac {0}{0}}\end{matrix}}$.

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(a)=g(a)=0 y g(x)≠0 para a<x<b. Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a). Por lo tanto, $\lim _{x\to a^{+}}{f(x) \over g(x)}={f'(a) \over g'(a)}$ Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.​

• Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

${f(x) \over g(x)}={f(x)-f(a) \over g(x)-g(a)}={{f(x)-f(a) \over x-a} \over {g(x)-g(a) \over x-a}}$

• Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

$\lim _{x\to a^{+}}{f(x) \over g(x)}={\lim _{x\to a^{+}}{f(x)-f(a) \over x-a} \over \lim _{x\to a^{+}}{g(x)-g(a) \over x-a}}={f'(a) \over g'(a)}$

Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al limite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; osea sean las funciones originales f(x)/g(x) al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen} (x)}{x}}={\xrightarrow {\mathrm {L'H{\hat {o}}pital} }}\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}={\frac {1}{1}}=1$

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\operatorname {sen} (x)}}=$

$={\xrightarrow {\mathrm {L'H{\hat {o}}pital} }}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})-2}{1-\operatorname {cos} (x)}}=$

$={\xrightarrow {\mathrm {L'H{\hat {o}}pital} }}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{\operatorname {sen} (x)}}=$

$={\xrightarrow {\mathrm {L'H{\hat {o}}pital} }}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})}{\operatorname {cos} (x)}}={\frac {e^{0}+e^{-0}}{\operatorname {cos} (0)}}={\frac {1+1}{1}}=2$

Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo ${\begin{matrix}{\frac {0}{0}}\end{matrix}}$ mediante tranformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo ${\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}$ se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{4}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{4}}}}$

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

• Tipo $\infty -\infty$

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\\{}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {\begin{matrix}\to \infty \\\overbrace {x} \end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {x+{\sqrt {x^{2}-x}}} \\\to \infty \end{matrix}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {(x)'}{(x+{\sqrt {x^{2}-x}})'}}\\{}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Véase también

• Límite (matemática)
• Infinitésimo
• Límite de una función