Cortaduras de Dedekind

Las cortaduras de Dedekind son unos conjuntos de números racionales que representan la primera construcción formal del conjunto de los números reales. Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático.

Cortaduras y cortaduras racionales.

Un conjunto $A\subset \mathbb {Q}$ es una cortadura de Dedekind (o simplemente una cortadura) si cumple las siguientes propiedades:

• $A\neq \varnothing$.

• $A\neq \mathbb {Q}$.

• Si $a\in A$ y $b<a\;$ entonces $b\in A$.

• $A\;$ no tiene último elemento, es decir, para cada $a\in A$ existe $a'\in A$ tal que $a<a'\;$.

El conjunto de todas las cortaduras es (por definición) el conjunto $\mathbb {R}$ de los números reales.

Si tomamos un número racional arbitrario $r\in \mathbb {Q}$, entonces la cortadura $A_{r}:=\{a\in \mathbb {Q} :a<r\}$ se denominará cortadura racional (asociada a $r\;$).

Es evidente que a todo número racional le corresponde una cortadura racional y solamente una. Podemos establecer así una aplicación inyectiva $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$ que al número racional $r\;$ le asocie la cortadura racional $A_{r}\;$.

Una cortadura $A\;$ es cortadura racional si y solo si existe $r\in \mathbb {Q}$ tal que $r=\operatorname {sup} \left(A\right)$.

Relación de orden.

Definición.

Dadas dos cortaduras $A$ y $B$ diremos que $A\leq B$ si y solo si $A\subseteq B$.

En el conjunto de los números reales (conjunto de todas las cortaduras), $\leq$ es una relación de orden, que es orden total, pero no es buen orden.

Positivos, negativos, cero.

Denominamos cero a la cortadura racional $A_{0}:=\{r\in \mathbb {Q} :r<0\}$.

Diremos que una cortadura $A$ es un número positivo si $A_{0}\leq A$.

Diremos que una cortadura $A$ es un número negativo si $A\leq A_{0}$.

Diremos que una cortadura $A$ es estrictamente positivo o no negativo si $A_{0}<A$.

Diremos que una cortadura $A$ es estrictamente negativo o no positivo si $A<A_{0}$.

Suma y producto.

Suma.

Dadas dos cortaduras arbitrarias $A$ y $B$ definimos su suma como el conjunto $A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}$. $A+B$ es una cortadura, con lo que + representa una operación interna en el conjunto de los números reales, operación denominada suma.

La suma dota al conjunto de los números reales de estructura de grupo abeliano, es decir, en $(\mathbb {R} ,+)$ se verifican las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro ($A_{0}$) y existencia para cada cortadura $A$ de un elemento simétrico (opuesto) $-A:=\{r\in \mathbb {Q} :\exists s\in \mathbb {Q} \setminus A,s<-r\}$.

Además, se da la compatibilidad de la suma con el orden, es decir, si $A$ y $B$ son cortaduras y $A\leq B$, entonces, cualquiera que sea la cortadura $C$, se cumple que $A+C\leq B+C$.

Por último, la suma en $\mathbb {R}$ es una extensión de la suma en $\mathbb {Q}$, esto es, si $r,s\in \mathbb {Q}$, entonces $A_{r}+A_{s}=A_{r+s}$.

Producto.

El producto de cortaduras no es tan sencillo de definir como la suma, y hay que hacerlo por casos.

Sean $A$ y $B$ dos cortaduras:

• Si $A>A_{0}$ y $B>A_{0}$, definimos el conjunto $A\cdot B:=\{a\cdot b:a\in A,b\in B,a\geq 0,b\geq 0\}\cup A_{0}$. Entonces $A\cdot B$ es una cortadura y además es $A\cdot B>A_{0}$.

• Si $A>A_{0}$ y $B<A_{0}$, definimos el conjunto $A\cdot B:=-(A\cdot (-B))$. Así $A\cdot B$ es una cortadura y además es $A\cdot B<A_{0}$.

• Si $A<A_{0}$ y $B>A_{0}$, definimos el conjunto $A\cdot B:=-((-A)\cdot B)$. Se cumple que $A\cdot B$ es una cortadura y además es $A\cdot B<A_{0}$.

• Si $A<A_{0}$ y $B<A_{0}$, definimos el conjunto $A\cdot B:=(-A)\cdot (-B)$. Se verifica que $A\cdot B$ es una cortadura y además es $A\cdot B>A_{0}$.

• Si $A=A_{0}$ o $B=A_{0}$, definimos el conjunto $A\cdot B:=A_{0}$.

En cualquier caso, $A\cdot B$ es una cortadura, con lo que $\cdot$ es una operación interna en el conjunto de los números reales, operación que denominaremos producto.

El producto cumple las propiedades conmutativa, asociativa, existe un elemento neutro $A_{1}$ para el producto, y si $A$ no es la cortadura cero, entonces existe elemento simétrico de la cortadura $A$ para el producto, denominado inverso de $A$, y definido por $A^{-1}:=\{r\in \mathbb {Q} :r>0,\exists s\in \mathbb {Q} \setminus A,s<{\frac {1}{r}}\}\cup A_{0}\cup \{0\}$, si $A>A_{0}$, y por $A^{-1}:=-((-A)^{-1})$ cuando $A<A_{0}$. Con estas propiedades, $(\mathbb {R} \setminus \{A_{0}\},\cdot )$ está dotado de estructura de grupo abeliano.

Si $A\cdot B=A_{0}$, entonces se prueba que bien $A=A_{0}$ o bien $B=A_{0}$.

El producto en $\mathbb {R}$ es distributivo respecto de la suma. De esta manera $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ tiene estructura de cuerpo.

El producto es compatible con el orden de los reales positivos: si $A$, $B$ y $C$ son cortaduras con $A\leq B$ y $C\geq A_{0}$, entonces $A\cdot C\leq B\cdot C$.

El producto en $\mathbb {R}$ es extensión del producto en $\mathbb {Q}$: si $r,s\in \mathbb {Q}$, entonces $A_{r}\cdot A_{s}=A_{r\cdot s}$.

Principales propiedades.

El conjunto de los números reales goza de ciertas propiedades que son particularmente sencillas de demostrar usando cortaduras de Dedekind, como son:

• Es un cuerpo totalmente ordenado.

• El conjunto de los números racionales está isomórficamente incluido en él (es decir, $\mathbb {Q}$ es un subcuerpo totalmente ordenado de $\mathbb {R}$).

• En $\mathbb {R}$ se satisface el principio del supremo, esto es, todo conjunto no vacío que esté acotado superiormente tiene supremo. Como consecuencia inmediata, todo conjunto acotado inferiormente tiene ínfimo.

Se puede probar que el conjunto de los números reales es el único que tiene estas propiedades, es decir, que si $\mathbb {K}$ es un cuerpo ordenado que verifica el principio del supremo, entonces $\mathbb {K}$ es isomorfo a $\mathbb {R}$ (en particular, si $\mathbb {Q} \subset \mathbb {K}$, entonces es $\mathbb {K} =\mathbb {R}$). En ese caso se dirá que $\mathbb {K}$ es un sistema de números reales.

Otras propiedades

• $\mathbb {N}$ (el conjunto de los números naturales) no está acotado superiormente en $\mathbb {R}$.

• $\mathbb {R}$ es arquimediano: dados dos elementos $x,y\in \mathbb {R}$ , arbitrarios, existe un número natural $n\in \mathbb {N}$ de forma que $y<n\cdot x$.

• Entre dos números reales distintos siempre existen infinitos números reales (infinitos números racionales e infinitos números irracionales).

• Dado cualquier $x\in \mathbb {R}$ se verifica que $x=sup\{r\in \mathbb {Q} :r<x\}=inf\{s\in \mathbb {Q} :x<s\}$.