Cubo con asas

En la matemática, en la rama de la topología geométrica, un cubo con asas es un tipo particular de variedad topológica. Los cubos con asas son frecuentemente usados para estudiar a las 3-variedades, y sin embargo ellas pueden ser definidas en dimensiones arbitrarias.

Cubo con asas de género tres con algunos discos propiamente encajados. Note que al remover algunos de ellos no desconectan al cuerpo. ¿Cuántos discos propiamente encajados en el cubo con asas se pueden remover para dejar sólo una 3-bola?

Definición general

Sea G un grafo finito y conexo en un espacio euclídeo de dimensión n. Sea V una vecindad regular cerrada de G. Entonces V is un cubo con asas n-dimensional. Al grafo G se le llama la espina del cubo con asas.

En dimensión 3

Cubo con asas anudado de género uno.

En dimensión tres uno puede ver que un cubo con asas H es un cuerpo sólido con frontera, $\partial H$, consiste en una superficie conexa, orientable y cerrada. O bien un cuerpo sólido que contiene una colección de discos (2-dimensionales) propiamente encajados en H, tales que si cortamos H a lo largo de estos discos lo que queda es una 3-bola. Es intructivo imaginar cómo es el proceso inverso a esto: Uno empieza con una 3-bola, luego vamos a pegar copias de cilindros sólidos, $D\times I$, identificando las tapas del cilindro; $D\times 0$ y $D\times 1$, con dos discos disjuntos en la frontera de la 3-bola. Esto estaría dando a la 3-bola una 1-asa tridimensional. Vamos a pegar cuantas 1-asas sean necesarias para reconstruir al cubo con asas H.

Ejemplos

Note que al pegar una 1-asa a una 3-bola se obtiene un toro sólido.

Más conceptos

Se llama género del cubo con asas al género de la superficie frontera del cubo con asas.

Propiedades

Cualquiera dos cubos con asas que tiene como frontera una superficie del mismo género son homeomorfos.

Se puede demostrar que cualquier 3-variedad orientable se puede construir a partir de dos cubos con asas del mismo género $H_{1},\ H_{2}$ pegándolos por su frontera mediante una identificación de las superficies frontera, i.e. mediante un homeomorfismo$f\colon \partial H_{1}\to \partial H_{2}$ y así la tres variedad se puede ver como el espacio cociente $M=H_{1}\cup _{f}H_{2}$. Esta es la célebre descomposición de Heegaard de la 3-variedad.

tres discos que cortan a un toro

En 1987 fue demostrado que también las 3-variedades no orientables se pueden descomponer en tres cubos con asas orientables. Ejemplos sencillos de esto se pueden visualizar cuando entendemos que cualquier superficie cerrada, F, se puede descomponer en tres discos

$F=D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}$

pegados por arcos de su frontera (en particular las no orientables) y haciendo el producto cartesiano con la 1-esfera, uno obtiene tres toros sólidos que descomponen a la tres variedad $F\times S^{1}$, es:

$F\times S^{1}=(D_{1}\times S^{1})\cup (D_{2}\times S^{1})\cup (D_{3}\times S^{1})$.

Un cubo con asas tiene la propiedad de tener grupo fundamental; $\pi _{1}(H)$, igual a la del grafo que lo génera: $\pi _{1}(H)=F_{n}$, que es el grupo libre de orden n.

Véase también

• género de Heegaard
• tri-género
• 2-asa
• asa (matemática)
• triangulación de variedades
• CW complejo
• descomposición (matemática)