Función identidad

Las identidades como objetos en matemáticas son de dos tipos: funciones identidad y elementos identidad.

Función identidad

Una función identidad es una función, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

$id_{M}:M\mapsto M$

$id_{M}(m)=m\,$

La función identidad es trivialmente idempotente, es decir:

$id_{M}(id_{M}(x))=id_{M}(x)=x\,$

Ejemplos de función identidad

La función $f(x)=x\,$ de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en $\mathbb {R} _{p}^{2}$ (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación $r=\theta$: una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La función identidad en $\left\{0,1\right\}$ es la doble negación, expresada por $\not \neg x$.

Elemento identidad

Un elemento identidad es un elemento e dentro del par de M y una operación binaria ° previamente considerada, tal que para cualquier otro elemento

se cumple: $e\circ a=a=a\circ e$. Es decir, un elemento identidad (también por este efecto llamado elemento neutro) tieneun efecto neutro al ser utilizado en la operación °.

Un elemento e que cumpla solamente $e\circ a=a$ es llamado identidad izquierda. Análogamente un elemento que cumple solamente $a\circ e=a$ es llamado identidad derecha.

Ejemplos de elementos identidad

En los números enteros y reales, existen los siguientes elementos identidad:

• El elemento identidad para la adición, o neutro aditivo, es $0$ (cero), ya que para cualquier otro elemento a, $0+a=a$.
• El elemento identidad para el producto, o neutro multiplicativo, es $1$ (uno), ya que para cualquier otro elemento a, $1*a=a$.

En las matrices cuadradas que no son de elementos reales, usualmente llamado $M=\mathbb {R} ^{2}$, existen los siguientes elementos identidad:

• La Matriz Identidad:

$I={\begin{bmatrix}I&0&\cdots &0\\0&I&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &I&0\\0&\cdots &\cdots &I\end{bmatrix}}$
, es decir: la matriz cuadrada que tiene sólo elementos identidad a lo largo de su diagonal principal. El tamaño de una matriz identidad suele deducirse del contexto.

• El elemento identidad para el producto de matrices, es justamente la matriz identidadya que $I*A=A$.
• El elemento identidad para la adición de matrices es la matriz cero, denotada simplemente $0$.

En el tratamiento de cadenas de texto, se considera la cadena vacía, a veces denotada $\emptyset$, o $\{\}$, como el elemento identidad de la operación básica de concatenación.

Identidad como propiedad

Nótese que, aunque la forma en que operan una función identidad y un elemento identidad son similares, no son conceptos completamente relacionados. En particular, una función identidad no necesariamente entrega como resultado un elemento identidad. Más bien, la relación entre ellos está en su forma operacional: se puede decir que un objeto algebraico

${\hat {X}}$

es una identidad, si se cumple que

${\hat {X}}^{2}={\hat {X}}$

Esto permite aplicar la definición tanto a elementos como a relaciones y funciones.