Interpolación polinómica de Lagrange

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de la bases polinómicas escaladas y₀l₀(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) y y₃l₃(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.

Definición

Dado un conjunto de k + 1 puntos

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

donde todos los x_j se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

$L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)$

de bases polinómicas de Lagrange

$\ell _{j}(x)=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{j}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}}{\frac {x-x_{j+1}}{x_{j}-x_{j+1}}}\cdots {\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}}$

Demostración

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con

$L(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\ldots ,k$

El polinomio en la forma de Lagrange es una solución al problema de interpolación:

Como puede verse fácilmente

1. $\ell _{j}(x)$ es un polinomio y es de grado k.
2. $\ell _{i}(x_{j})=\delta _{ij},\quad 0\leq i,j\leq k.\,$

Así, la función L(x) es un polinomio de grado k y

$L(x_{i})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{i})=y_{i}.$

El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.

Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.

Concepto

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δ_i,j, que puede resolverse inmediatamente.

Uso

Ejemplo

La función tangente y su interpolador.

Se desea interpolar $f(x)=\tan(x)$ en los puntos

$x_{0}=-1.5$	$f(x_{0})=-14.1014$
$x_{1}=-0.75$	$f(x_{1})=-0.931596$
$x_{2}=0$	$f(x_{2})=0$
$x_{3}=0.75$	$f(x_{3})=0.931596$
$x_{4}=1.5$	$f(x_{4})=14.1014$

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.

La base polinómica es:

$\ell _{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)$

$\ell _{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$\ell _{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={1 \over 243}(243-540x^{2}+192x^{4})$

$\ell _{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$\ell _{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3)$

Así, el polinomio interviolador lampara se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los $\ell _{i}(x)$ y los valores de las abscisas:

${1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$+f(x_{2})(243-540x^{2}+192x^{4})-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\,$

$+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\,$

$=-1.47748x+4.83456x^{3}.\,$

Desventajas de su uso

Debido a que el polinomio interpolador de Lagrange ajusta a todos los puntos que le son especificados, en aquellas situaciones con una gran cantidad de datos se obtiene un polinomio de grado muy alto, lo cual normalmente resulta poco práctico. Es por esta razón que en la práctica no es común utilizar este método, sino que se prefiere ajustar los datos lo mejor posible, utilizando un polinomio de menor grado, incluso si este polinomio no pasa por ninguno de los puntos que le son especificados (pero ajusta en forma aproximada siguiendo algún criterio de optimalidad).

Otro problema del polinomio interpolador de Lagrange es lo que se conoce como overfitting (término inglés, algunas veces castellanizado a sobre fiteo): a medida que crece el grado del polinomio interpolador, se percibe una creciente variación entre puntos de control consecutivos, lo que produce que la aproximación entre dos puntos continuos sea muy distinta a la que uno esperaría.

A pesar de estos problemas, el polinomio interpolador de Lagrange es muy simple de implemetar y tiene interés teórico más que práctico por su sencillez.

Otras aplicaciones

Aunque el polinomio interpolador de lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto facilmente en una computadora, también tiene otras aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho mas célebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales:

Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto escalar (no necesariamente el usual). Sea F un operador normal, tal que gracias al teorema de la descomposición espectral es igual a $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}P_{i}$. Donde $P_{i}$ son los proyectores ortogonales y $\lambda _{i}$ los autovectores de F asociados a cada proyector. Entonces:

$P_{i}=\prod _{i\neq j}{\frac {F-\lambda _{j}I}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}=l_{i}(F)$

Siendo I la matriz identidad.

Demostración:

Haciendo uso de la descomponsición espectral y aplicando las propiedades de los proyectores:

$l_{i}(F)=l_{i}(\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j})=\sum _{j=1}^{n}l_{i}(\lambda _{j})P_{j}=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}P_{j}=P_{i}$

Véase también

• Interpolación polinómica
• Forma de Newton del polinomio interpolador
• Forma de Bernstein del polinomio interpolador
• Fórmulas de Newton-Cotes

Enlaces externos

• Módulo para polinomios de Lagrange por John H. Mathews
• Método de interpolación de Lagrange - Notes, PPT, Mathcad, Mathematica, Matlab, Maple del Holistic Numerical Methods Institute