Función característica

La función característica de una variable aleatoria o de su distribución de probabilidad es una función de variable real que toma valores complejos, que permite la aplicación de métodos analíticos (es decir, de análisis funcional) en el estudio de la probabilidad.

Definición

Dada una variable aleatoria $X\,\!$ su función característica, que se denota mediante $\varphi _{X}(t)\,\!$ para $t\,\!$ real, se define como

$\varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ;\quad \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} {\big [}e^{itX}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\qquad$

notar que se hace uso de la función exponencial compleja y $\operatorname {E}$ denota la esperanza matemática. Adicionalmente usando las propiedades de la función exponencial compleja, la función característica se puede reescribir en términos de una parte real y una imaginaria:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [cos(tX)]+i\operatorname {E} [sen(tX)]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)f_{X}(x)\,dx+i\int _{-\infty }^{\infty }sen(tx)f_{X}(x)\,dx$

Momentos

Cuando los momentos de una variable aleatoria existen, se pueden calcular mediante las derivadas de la función característica. Es así que se tiene

$\varphi _{X}'(0)=i\operatorname {E} [X]\,\!$

fórmula que se obtiene derivando formalmente a ambos lados de la definición y tomando $t=0\,\!$, y derivando dos veces y sustituyendo $t=0\,\!$ resulta

$\varphi _{X}''(0)=-\operatorname {E} [X^{2}]\,\!$.

Análogamente se relacionan momentos y derivadas de órdenes superiores.

Probabilidad y análisis funcional

En análisis funcional si se identifica la distribución de la variable aleatoria considerada con una medida positiva, la función característica se denomina transformada de Fourier de la medida correspondiente.

Historia

El método de las funciones características fue introducido en las probabilidades por Lyapunov en 1904 para la demostración del Teorema Central del Límite que hoy lleva su nombre. La versión definitiva de este teorema fue obtenida posteriormente por Lindeberg.

Función generatriz de momentos

Una función relacionada con la función característica es la función generatriz de momentos (función generadora de momentos), designada como $M_{X}(t)\,\!$ se define mediante

$M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,$

Si bien esta función es más sencilla, no siempre existe, dado que la esperanza matemática que la define puede no existir, dependiendo de la distribución de la variable aletoria y del valor de $t\,\!$.