Producto escalar

En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación externa definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.

$f:(\mathbb {V^{N}(K)}$,$\langle \cdot |\cdot \rangle$ $)\to (\mathbf {K} ,+,\circ )$

$\mathbf {u}$ * $\mathbf {v}$ $\longmapsto$ λ

para dos vectores cualesquiera del espacio, se obtendrá un escalar λ procedente del cuerpo de escalares $\mathbb {K}$

También es válida esta definición si tomamos un sólo vector del espacio para operar consigo mismo. En este caso concreto: $\mathbf {u}$ = $\mathbf {v}$

$f:(\mathbb {V^{N}(K)}$,$\langle \cdot |\cdot \rangle$ $)\to (\mathbf {K} ,+,\circ )$

$\mathbf {u}$ * $\mathbf {u}$ $\longmapsto$ λ

Por componentes, sea un vector $\mathbf {u}$ $(u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{n})$ y un vector $\mathbf {v}$ $(v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{n})$, ambos pertenecientes al espacio vectorial $\mathbb {V^{N}(K)}$.

El producto escalar $\langle u,v\rangle$ se calcula tomando componente a componente los productos de cada una de las coordenadas y finalmente sumándolo todo:

$\langle u,v\rangle$ = $(u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{n})\circ (v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{n})$ =$(u_{1}\circ v_{1})+(u_{2}\circ v_{2})+(u_{3}\circ v_{3})+...+(u_{n}\circ v_{n})$ = $\sum _{i=1}^{n}u_{i}.v_{i}$

$\sum _{i=1}^{n}u_{i}.v_{i}\in \mathbb {K}$ ya que se trata de un escalar.

El cuerpo $\mathbb {K}$ puede ser el conjunto de los números complejos $\mathbb {C}$ o una restricción de éste, el conjunto de los números reales $\mathbb {R}$ por tratarse de un espacio euclídeo

Definición general

El producto escalar es una operación externa característica de los espacios vectoriales prehibertianos.

En un espacio prehilbertiano $\mathbb {V} \$ sobre un cuerpo de escalares $\mathbb {K} \$ (pudiendo ser $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C} \$ )

[ $\mathbb {V} \$ ($\mathbb {K} \$) , $\langle \cdot |\cdot \rangle$] ya definida la operación producto escalar, cuando la dimensión de este espacio es finita, la estructura algebráica resultante es un espacio euclídeo.

Otras acepciones son: espacio vectorial normado o con norma, espacio vectorial con producto interno o interior, espacio normado o espacio métrico.

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo $\theta$ que forman.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta$

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy A_B, será

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =B\left({\text{proy}}_{B}A\right)$

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Propiedades del producto escalar

1. Propiedad de la norma de un vector:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} >0$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =0\Leftrightarrow A=0$

2. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

$m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )$

3. Distributiva respecto a la suma vectorial:

$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C}$

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C}$

4. Conmutativa:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$

Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, o sea,

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$\mathbf {B} =B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \,$

entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, se tiene

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,$

Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

$A^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A}$

Se realiza la raiz cuadrada del escalar obtenido, siendo A el módulo o norma del vector

$A={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}\,$

Por componentes:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\,$

$A={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\,$

Productos interiores definidos en espacios vectoriales

En el espacio vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}$

En el espacio vectorial $\mathbb {C} ^{n}$ se suele definir el producto interior por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}{\overline {b_{n}}}$

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A\cdot B^{T})$

donde tr es la traza de la matriz.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b (C[a, b])

$\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x$

Dado $\textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n}+1]\subseteq \mathbb {R}$ tal que $\textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n}+1\,$, en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n}+1)q(x_{n}+1)$

De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.

Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Una operación $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\longrightarrow K$ donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

1. $\langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle \,$ (lineal en el primer componente),
2. $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$ (hermítica),
3. $\langle x,x\rangle \geq 0\,$, y $\langle x,x\rangle =0\,$ si y sólo si x = 0 (definida positiva),

donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y ${\overline {c}}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., $\mathbb {R}$), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por $(\cdot |\cdot )$ o por $\bullet$.

Un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

Referencias

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Matriz de Gram
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.