Fórmula de Herón

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, plantea que la superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

$S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}\,$

Donde p es el semiperímetro:

$p={\frac {a+b+c}{2}}$

La fórmula puede ser reescrita de la siguiente forma:

$S={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}\,$

Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces,por el Teorema del coseno, obtenemos la siguiente demostracion:

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Utilizando la relación entre senos y cosenos por medio de una identidad pitagórica

$\operatorname {sen} ^{2}\left(C\right)+\cos ^{2}\left(C\right)=1$

$|\sin(C)|={\sqrt {1-\cos ^{2}(C)}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud b |sin(C)|. Por tanto, siguiendo con la demostración

$S={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altura}})$

$\qquad ={\frac {1}{2}}ab|\sin(C)|$

$\qquad ={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$

$\qquad ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.$

Generalización

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo de la superficies de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular la superficie de un cuadrilátero.

Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

Ninguno de los resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes (a+b-c)=(10+20-30)=0 nunca se puede dar esa situación.

Enlaces externos

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