Diferencia entre revisiones de «Número poligonal»
m Revertidos los cambios de 186.81.217.191 (disc.) a la última edición de GrouchoBot |
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Línea 189: | Línea 189: | ||
+ + x x |
+ + x x |
||
+ x |
+ x |
||
== n-ésimo número poligonal == |
|||
Si ''l'' es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el ''n''-ésimo número poligonal de ''l'' lados es <math>\tfrac{n((l-2)n-(l-4))}{2}</math>. |
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{| border="3" cellpadding="3" |
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|----- |
|||
<b> |
|||
| align="center" | Nombre || align="center" | Fórmula |
|||
| align="center" | ''n''=1 |
|||
| align="center" | 2 || align="center" | 3 |
|||
| align="center" | 4 |
|||
| align="center" | 5 || align="center" | 6 |
|||
| align="center" | 7 |
|||
| align="center" | 8 || align="center" | 9 |
|||
| align="center" | 10 |
|||
| align="center" | 11 || align="center" | 12 |
|||
| align="center" | 13</b> |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Triangular || align="center" | ½''n''(1''n'' + 1) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 3 || align="right" | 6 |
|||
| align="right" | 10 |
|||
| align="right" | 15 || align="right" | 21 |
|||
| align="right" | 28 |
|||
| align="right" | 36 || align="right" | 45 |
|||
| align="right" | 55 |
|||
| align="right" | 66 || align="right" | 78 |
|||
| align="right" | 91 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Cuadrado || align="center" | ½''n''(2''n'' - 0) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 4 || align="right" | 9 |
|||
| align="right" | 16 |
|||
| align="right" | 25 || align="right" | 36 |
|||
| align="right" | 49 |
|||
| align="right" | 64 || align="right" | 81 |
|||
| align="right" | 100 |
|||
| align="right" | 121 || align="right" | 144 |
|||
| align="right" | 169 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Pentagonal || align="center" | ½''n''(3''n'' - 1) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 5 || align="right" | 12 |
|||
| align="right" | 22 |
|||
| align="right" | 35 || align="right" | 51 |
|||
| align="right" | 70 |
|||
| align="right" | 92 || align="right" | 117 |
|||
| align="right" | 145 |
|||
| align="right" | 176 || align="right" | 210 |
|||
| align="right" | 247 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Hexagonal || align="center" | ½''n''(4''n'' - 2) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 6 || align="right" | 15 |
|||
| align="right" | 28 |
|||
| align="right" | 45 || align="right" | 66 |
|||
| align="right" | 91 |
|||
| align="right" | 120 || align="right" | 153 |
|||
| align="right" | 190 |
|||
| align="right" | 231 || align="right" | 276 |
|||
| align="right" | 325 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Heptagonal || align="center" | ½''n''(5''n'' - 3) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 7 || align="right" | 18 |
|||
| align="right" | 34 |
|||
| align="right" | 55 || align="right" | 81 |
|||
| align="right" | 112 |
|||
| align="right" | 148 || align="right" | 189 |
|||
| align="right" | 235 |
|||
| align="right" | 286 || align="right" | 342 |
|||
| align="right" | 403 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Octagonal || align="center" | ½''n''(6''n'' - 4) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 8 || align="right" | 21 |
|||
| align="right" | 40 |
|||
| align="right" | 65 || align="right" | 96 |
|||
| align="right" | 133 |
|||
| align="right" | 176 || align="right" | 225 |
|||
| align="right" | 280 |
|||
| align="right" | 341 || align="right" | 408 |
|||
| align="right" | 481 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Nonagonal || align="center" | ½''n''(7''n'' - 5) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 9 || align="right" | 24 |
|||
| align="right" | 46 |
|||
| align="right" | 75 || align="right" | 111 |
|||
| align="right" | 154 |
|||
| align="right" | 204 || align="right" | 261 |
|||
| align="right" | 325 |
|||
| align="right" | 396 || align="right" | 474 |
|||
| align="right" | 559 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | Decagonal || align="center" | ½''n''(8''n'' - 6) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 10 || align="right" | 27 |
|||
| align="right" | 52 |
|||
| align="right" | 85 || align="right" | 126 |
|||
| align="right" | 175 |
|||
| align="right" | 232 || align="right" | 297 |
|||
| align="right" | 370 |
|||
| align="right" | 451 || align="right" | 540 |
|||
| align="right" | 637 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 11-agonal || align="center" | ½''n''(9''n'' - 7) |
|||
| align="right" | 1 |
|||
| align="right" | 11 || align="right" | 30 |
|||
| align="right" | 58 |
|||
| align="right" | 95 || align="right" | 141 |
|||
| align="right" | 196 |
|||
| align="right" | 260 || align="right" | 333 |
|||
| align="right" | 415 |
|||
| align="right" | 506 || align="right" | 606 |
|||
| align="right" | 715 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 12-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(10''n'' - 8) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 12 |
|||
| align="right" | 33 |
|||
| align="right" | 64 || align="right" | 105 |
|||
| align="right" | 156 |
|||
| align="right" | 217 || align="right" | 288 |
|||
| align="right" | 369 |
|||
| align="right" | 460 || align="right" | 561 |
|||
| align="right" | 672 || align="right" | 793 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 13-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(11''n'' - 9) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 13 |
|||
| align="right" | 36 |
|||
| align="right" | 70 || align="right" | 115 |
|||
| align="right" | 171 |
|||
| align="right" | 238 || align="right" | 316 |
|||
| align="right" | 405 |
|||
| align="right" | 505 || align="right" | 616 |
|||
| align="right" | 738 || align="right" | 871 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 14-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(12''n'' - 10) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 14 |
|||
| align="right" | 39 |
|||
| align="right" | 76 || align="right" | 125 |
|||
| align="right" | 186 |
|||
| align="right" | 259 || align="right" | 344 |
|||
| align="right" | 441 |
|||
| align="right" | 550 || align="right" | 671 |
|||
| align="right" | 804 || align="right" | 949 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 15-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(13''n'' - 11) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 15 |
|||
| align="right" | 42 |
|||
| align="right" | 82 || align="right" | 135 |
|||
| align="right" | 201 |
|||
| align="right" | 280 || align="right" | 372 |
|||
| align="right" | 477 |
|||
| align="right" | 595 || align="right" | 726 |
|||
| align="right" | 870 || align="right" | 1027 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 16-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(14''n'' - 12) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 16 |
|||
| align="right" | 45 |
|||
| align="right" | 88 || align="right" | 145 |
|||
| align="right" | 216 |
|||
| align="right" | 301 || align="right" | 400 |
|||
| align="right" | 513 |
|||
| align="right" | 640 || align="right" | 781 |
|||
| align="right" | 936 || align="right" | 1105 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 17-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(15''n'' - 13) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 17 |
|||
| align="right" | 48 |
|||
| align="right" | 94 || align="right" | 155 |
|||
| align="right" | 231 |
|||
| align="right" | 322 || align="right" | 428 |
|||
| align="right" | 549 |
|||
| align="right" | 685 || align="right" | 836 |
|||
| align="right" | 1002 || align="right" | 1183 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 18-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(16''n'' - 14) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 18 |
|||
| align="right" | 51 |
|||
| align="right" | 100 || align="right" | 165 |
|||
| align="right" | 246 |
|||
| align="right" | 343 || align="right" | 456 |
|||
| align="right" | 585 |
|||
| align="right" | 730 || align="right" | 891 |
|||
| align="right" | 1068 || align="right" | 1261 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 19-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(17''n'' - 15) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 19 |
|||
| align="right" | 54 |
|||
| align="right" | 106 || align="right" | 175 |
|||
| align="right" | 261 |
|||
| align="right" | 364 || align="right" | 484 |
|||
| align="right" | 621 |
|||
| align="right" | 775 || align="right" | 946 |
|||
| align="right" | 1134 || align="right" | 1339 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 20-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(18''n'' - 16) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 20 |
|||
| align="right" | 57 |
|||
| align="right" | 112 || align="right" | 185 |
|||
| align="right" | 276 |
|||
| align="right" | 385 || align="right" | 512 |
|||
| align="right" | 657 |
|||
| align="right" | 820 || align="right" | 1001 |
|||
| align="right" | 1200 || align="right" | 1417 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 21-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(19''n'' - 17) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 21 |
|||
| align="right" | 60 |
|||
| align="right" | 118 || align="right" | 195 |
|||
| align="right" | 291 |
|||
| align="right" | 406 || align="right" | 540 |
|||
| align="right" | 693 |
|||
| align="right" | 865 || align="right" | 1056 |
|||
| align="right" | 1266 || align="right" | 1495 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 22-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(20''n'' - 18) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 22 |
|||
| align="right" | 63 |
|||
| align="right" | 124 || align="right" | 205 |
|||
| align="right" | 306 |
|||
| align="right" | 427 || align="right" | 568 |
|||
| align="right" | 729 |
|||
| align="right" | 910 || align="right" | 1111 |
|||
| align="right" | 1332 || align="right" | 1573 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 23-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(21''n'' - 19) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 23 |
|||
| align="right" | 66 |
|||
| align="right" | 130 || align="right" | 215 |
|||
| align="right" | 321 |
|||
| align="right" | 448 || align="right" | 596 |
|||
| align="right" | 765 |
|||
| align="right" | 955 || align="right" | 1166 |
|||
| align="right" | 1398 || align="right" | 1651 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 24-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(22''n'' - 20) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 24 |
|||
| align="right" | 69 |
|||
| align="right" | 136 || align="right" | 225 |
|||
| align="right" | 336 |
|||
| align="right" | 469 || align="right" | 624 |
|||
| align="right" | 801 |
|||
| align="right" | 1000 || align="right" | 1221 |
|||
| align="right" | 1464 || align="right" | 1729 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 25-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(23''n'' - 21) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 25 |
|||
| align="right" | 72 |
|||
| align="right" | 142 || align="right" | 235 |
|||
| align="right" | 351 |
|||
| align="right" | 490 || align="right" | 652 |
|||
| align="right" | 837 |
|||
| align="right" | 1045 || align="right" | 1276 |
|||
| align="right" | 1530 || align="right" | 1807 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 26-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(24''n'' - 22) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 26 |
|||
| align="right" | 75 |
|||
| align="right" | 148 || align="right" | 245 |
|||
| align="right" | 366 |
|||
| align="right" | 511 || align="right" | 680 |
|||
| align="right" | 873 |
|||
| align="right" | 1090 || align="right" | 1331 |
|||
| align="right" | 1596 || align="right" | 1885 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 27-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(25''n'' - 23) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 27 |
|||
| align="right" | 78 |
|||
| align="right" | 154 || align="right" | 255 |
|||
| align="right" | 381 |
|||
| align="right" | 532 || align="right" | 708 |
|||
| align="right" | 909 |
|||
| align="right" | 1135 || align="right" | 1386 |
|||
| align="right" | 1662 || align="right" | 1963 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 28-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(26''n'' - 24) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 28 |
|||
| align="right" | 81 |
|||
| align="right" | 160 || align="right" | 265 |
|||
| align="right" | 396 |
|||
| align="right" | 553 || align="right" | 736 |
|||
| align="right" | 945 |
|||
| align="right" | 1180 || align="right" | 1441 |
|||
| align="right" | 1728 || align="right" | 2041 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 29-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(27''n'' - 25) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 29 |
|||
| align="right" | 84 |
|||
| align="right" | 166 || align="right" | 275 |
|||
| align="right" | 411 |
|||
| align="right" | 574 || align="right" | 764 |
|||
| align="right" | 981 |
|||
| align="right" | 1225 || align="right" | 1496 |
|||
| align="right" | 1794 || align="right" | 2119 |
|||
|----- |
|||
| align="center" | 30-agonal |
|||
| align="center" | ½''n''(28''n'' - 26) |
|||
| align="right" | 1 || align="right" | 30 |
|||
| align="right" | 87 |
|||
| align="right" | 172 || align="right" | 285 |
|||
| align="right" | 426 |
|||
| align="right" | 595 || align="right" | 792 |
|||
| align="right" | 1017 |
|||
| align="right" | 1270 || align="right" | 1551 |
|||
| align="right" | 1860 || align="right" | 2197 |
|||
|} |
|||
== Referencia == |
== Referencia == |
Revisión del 19:19 20 may 2010
En matemáticas, un número poligonal es un número que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían recomponerse de ciertas formas cuando los representaban con piedras o semillas.
Números poligonales
El número 10 puede recomponerse como un triángulo (ver número triangular):
Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):
Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):
El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos. En los siguientes diagramas, el nuevo paso de agrandamiento se representará con el símbolo +.
Números triangulares
1 | 3 | 6 | 10 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
- Números cuadrados
1 | 4 | 9 | 16 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Los polígonos con un mayor número de lados, como los pentágonos y hexágonos, también pueden representarse como reordenamientos de puntos (por convención, el 1 es el primer número poligonal para cualquier número de lados).
Números pentagonales
1:
+ x
5:
x x + + x x + + x x
12:
x x x x x x + x x + x x x x + + x x + + + x x x
22:
x x x x x x x x x x x x x x + x x + x x x x + x x x + x x x x x + + x x + + + + x x x x
35:
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x + x x x x x x x + x x + x x x x + x x x x + x x x x x x + + x x + + + + + x x x x x
Números hexagonales
1:
x
6:
x x + + x x + + x x + x
15:
x x x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x
28:
x x x x x x x x x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x
45:
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x
66: (que también es un número triangular)
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x x x + x x x x x + x x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x
91:
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x x x + x x x x x + x x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x
n-ésimo número poligonal
Si l es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el n-ésimo número poligonal de l lados es .
Nombre | Fórmula | n=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Triangular | ½n(1n + 1) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 |
Cuadrado | ½n(2n - 0) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
Pentagonal | ½n(3n - 1) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | 176 | 210 | 247 |
Hexagonal | ½n(4n - 2) | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | 231 | 276 | 325 |
Heptagonal | ½n(5n - 3) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | 286 | 342 | 403 |
Octagonal | ½n(6n - 4) | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | 341 | 408 | 481 |
Nonagonal | ½n(7n - 5) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | 396 | 474 | 559 |
Decagonal | ½n(8n - 6) | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | 451 | 540 | 637 |
11-agonal | ½n(9n - 7) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | 506 | 606 | 715 |
12-agonal | ½n(10n - 8) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | 561 | 672 | 793 |
13-agonal | ½n(11n - 9) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | 616 | 738 | 871 |
14-agonal | ½n(12n - 10) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | 671 | 804 | 949 |
15-agonal | ½n(13n - 11) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | 726 | 870 | 1027 |
16-agonal | ½n(14n - 12) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | 781 | 936 | 1105 |
17-agonal | ½n(15n - 13) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | 836 | 1002 | 1183 |
18-agonal | ½n(16n - 14) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | 891 | 1068 | 1261 |
19-agonal | ½n(17n - 15) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | 946 | 1134 | 1339 |
20-agonal | ½n(18n - 16) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | 1001 | 1200 | 1417 |
21-agonal | ½n(19n - 17) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | 1056 | 1266 | 1495 |
22-agonal | ½n(20n - 18) | 1 | 22 | 63 | 124 | 205 | 306 | 427 | 568 | 729 | 910 | 1111 | 1332 | 1573 |
23-agonal | ½n(21n - 19) | 1 | 23 | 66 | 130 | 215 | 321 | 448 | 596 | 765 | 955 | 1166 | 1398 | 1651 |
24-agonal | ½n(22n - 20) | 1 | 24 | 69 | 136 | 225 | 336 | 469 | 624 | 801 | 1000 | 1221 | 1464 | 1729 |
25-agonal | ½n(23n - 21) | 1 | 25 | 72 | 142 | 235 | 351 | 490 | 652 | 837 | 1045 | 1276 | 1530 | 1807 |
26-agonal | ½n(24n - 22) | 1 | 26 | 75 | 148 | 245 | 366 | 511 | 680 | 873 | 1090 | 1331 | 1596 | 1885 |
27-agonal | ½n(25n - 23) | 1 | 27 | 78 | 154 | 255 | 381 | 532 | 708 | 909 | 1135 | 1386 | 1662 | 1963 |
28-agonal | ½n(26n - 24) | 1 | 28 | 81 | 160 | 265 | 396 | 553 | 736 | 945 | 1180 | 1441 | 1728 | 2041 |
29-agonal | ½n(27n - 25) | 1 | 29 | 84 | 166 | 275 | 411 | 574 | 764 | 981 | 1225 | 1496 | 1794 | 2119 |
30-agonal | ½n(28n - 26) | 1 | 30 | 87 | 172 | 285 | 426 | 595 | 792 | 1017 | 1270 | 1551 | 1860 | 2197 |
Referencia
- The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4]. (en inglés)
- Polygonal numbers at MathWorld (en inglés)