Diferencia entre revisiones de «Regla de Simpson»
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[[Archivo:simpsons method illustration.png|thumb|La función ''f''(''x'') (azul) es aproximada por una función cuadrática ''P''(''x'') (rojo).]] |
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En [[análisis numérico]], la '''regla''' o '''método de Simpson''' (nombrada así en honor de [[Thomas Simpson]]) es un método de |
En [[análisis numérico]], la '''regla''' o '''método de Simpson''' (nombrada así en honor de [[Thomas Simpson]]) es un método de [[integración numérica]] que se utiliza para obtener la aproximación de la [[integral]]: |
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:<math> \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]</math>. |
:<math> \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]</math>. |
Revisión del 20:03 24 may 2010
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
- .
Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:
Así, la integral buscada se puede aproximar como:
Error
El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es
donde y .
Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales, de manera que , donde para .
Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo, tenemos:
Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:
El máximo error viene dado por la expresión
Version simplificada:
Donde E son los extremos I son la funcion evaluada en los intervalos impares y P la funcion evaluada en los intervalos pares. Con n mayor que 2 y par. )