Diferencia entre revisiones de «Teorema de Desargues»

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Revisión del 23:32 24 may 2010

En geometría proyectiva, el teorema de Desargues, llamado así en honor a Gérard Desargues afirma la siguiente:

En el plano proyectivo, dos triángulos son perspectivos desde un punto si y sólo si son perspectivos desde una recta.

Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean perspectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O De manera similar el que los triángulos sean perspectivos desde una recta significa que los pares de lados AB, DE; BC, EF; AC, DF se cortan sobre una misma recta r.

Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva.

Demostración del teorema

Para demostrar este teorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r. Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean C y D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p.

El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r.

Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto.

De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r.

El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF en un mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se poryecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E y el punto B sobre D y F.

En el teorema de Desargues, podemos considerar los triangulos como las proyecctiones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquél donde los dos triángulos son perspectivos, y la intersección de la recta ST con aquél plano. Los vértices correspondientes en ambos triangulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema

Referencias

Luigi Cremona, Elements of Projective Geometry third edition, Dover 2005 ISBN 0-486-44266-7

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+{{wikificar|t=20091009115949}}
-{{fusionar|Teorema de Desargues}}
+{{fusionar|Desargues}}
-== '''Teorema de Desargues''' (Geometría proyectiva). ==
+[[Imagen:Teorema de desargues.svg|right|300px]]
-''Si dos triángulos están relacionados de manera que las rectas que unen vértices homólogos pasan por un mismo punto, entonces los lados homólogos se cortan en puntos de una misma recta, denominada eje de homología.''
+En [[geometría proyectiva]], el '''teorema de Desargues''', llamado así en honor a [[Gérard Desargues]] afirma la siguiente:
+{{teorema
-En otras palabras: cuando tenemos dos triángulos de vértices <math>ABC</math> y <math>A'B'C'</math> (y lados <math>a, b, c</math> y <math>a', b', c'</math>) y cumplen que las rectas <math>AA', BB', CC'</math> son concurrentes, entonces <math>a\cap a', b\cap b', c\cap c'</math> están alineados.
+|1= En el plano proyectivo, dos triángulos son perspectivos desde un punto si y sólo si son perspectivos desde una recta.
+|2=
+}}
+Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean ''perspectivos desde un punto'' significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O De manera similar el que los triángulos sean ''perspectivos desde una recta'' significa que los pares de lados AB, DE; BC, EF; AC, DF se cortan sobre una misma recta r.
+Al punto O se le llama ''centro de perspectiva'' y a la recta r, ''eje de perspectiva''.
-[[Archivo:Desargue.JPG]]
+=== Demostración del teorema ===
-[[Categoría:Geometría]]
+[[Imagen:Desteodem.svg|left]]
+Para demostrar este teorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r. Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean C y D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p.
+El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r.
+Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto.
+:De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r.
+El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF en un mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se poryecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E y el punto B sobre D y F.
+En el teorema de Desargues, podemos considerar los triangulos como las proyecctiones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquél donde los dos triángulos son perspectivos, y la intersección de la recta ST con aquél plano. Los vértices correspondientes en ambos triangulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema
+=== Referencias ===
+* Luigi Cremona, ''Elements of Projective Geometry'' third edition, Dover 2005 ISBN 0-486-44266-7
+[[Categoría:Teoremas de geometría|Desargues]]
+[[Categoría:Geometría proyectiva]]
+[[ar:مبرهنة ديسارغو]]
+[[de:Satz von Desargues]]
+[[en:Desargues' theorem]]
+[[fi:Desarguesin lause]]
+[[fr:Théorème de Desargues]]
+[[it:Teorema di Desargues]]
+[[ja:デザルグの定理]]
+[[nl:Stelling van Desargues]]
+[[pl:Twierdzenie Desarguesa]]
+[[ru:Теорема Дезарга]]
+[[uk:Теорема Дезарга]]
+[[zh:笛沙格定理]]