Ángulo inscrito

En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo comprendido entre dos secantes (o una secante y una tangente en el caso degenerado, llamado semi-inscrito), que se intersecan en la circunferencia. Es decir, es el ángulo definido por dos cuerdas que comparten un extremo.

Propiedad

Mientras que un ángulo central tiene una amplitud $\theta$ igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, $\theta /2$ .

Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas $a$, $b$ se intersecan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo $a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}$.

Demostración

Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como los de las figuras.

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Ángulo inscrito $\alpha$ y arco $\theta$

Sean $o$ el centro de un círculo, $u$ y $v$ dos puntos en la circunferencia, y $w$ el otro extremo de la cuerda que pasa por $u$ y $o$. Sea $\theta$ la amplitud del arco comprendido entre las secantes ${\bar {uv}}$ y ${\bar {uw}}$, y $\alpha$ su ángulo inscrito.

El ángulo central $\angle wov$, también tiene amplitud $\theta$ y es suplementario de $\angle vou=\beta$. Por lo tanto $\theta +\beta =180$°.

Como el triángulo $\triangle uvo$ tiene dos lados con longitud igual al radio (${\bar {uo}}$ y ${\bar {vo}}$), es isósceles, por lo que $\angle uvo=\alpha$. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que $2\alpha +\beta =180$, pero $\beta =180-\theta$, así que $2\alpha +180-\theta =180$, o lo que es equivalente, $2\alpha =\theta$.

Por lo tanto, el ángulo inscrito $\alpha$ tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior $\theta$, $\alpha ={\frac {\theta }{2}}$.