Longitud de onda térmica de De Broglie

En física, la longitud de onda térmica de De Broglie ($\lambda$) es básicamente el promedio de la longitud de onda de De Broglie de las partículas en un gas ideal a una temperatura específica. Podemos tomar la separación promedio entre partículas en un gas, aproximadamente como (V/N)^1/3, donde V es el volumen y N es el número de partículas. Cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mucho menor a la distancia entre partículas, el gas puede considerarse como «clásico» o como un gas de Maxwell-Boltzmann. Por otro lado, cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es del orden o mayor que la distancia entre partículas, los efectos cuánticos dominarán, y el gas debe ser tratado ya sea como un gas de Fermi o un gas de Bose, dependiendo de la naturaleza de las partículas. La temperatura crítica es el punto de transición entre estos dos regímenes. A esta temperatura crítica, la longitud de onda térmica será aproximadamente igual a la distancia entre partículas. Es decir, la naturaleza cuántica del gas será evidente para

${\frac {V}{N\lambda ^{3}}}\leq 1{\text{ o bien, }}\left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda ,$

es decir, cuando la distancia entre partículas es menor que la longitud de onda de De Broglie. En este caso, el gas obedecerá la estadística de Bose-Einstein o la estadística de Fermi-Dirac, dependiendo de cuál sea la apropiada. Este es, por ejemplo, el caso de electrones en un metal típico a T = 300 K; el gas de electrones obedece la estadística de Fermi-Dirac. Otro ejemplo es un condensado de Bose-Einstein.

Por otro lado, para

${\frac {V}{N\lambda ^{3}}}\gg 1{\text{ o bien, }}\left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda$

es decir, cuando la distncia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie, el gas obedecerá la estadística de Maxwell-Boltzmann.​ Este es el caso para neutrones térmicos producidos por una fuente de neutrones.

Partículas con masa

Para un gas ideal libre de partículas con masa (sin grados de libertad internos) en equilibrio, la longitud de onda térmica de De Broglie puede obtenerse a través de la longitud de onda de De Broglie típica:

$\lambda ={\frac {h}{p}}$.

Sustituyendo el momento p por la energía cinética E_K = p²/2m:

$\lambda ={\frac {h}{\sqrt {2m\ E_{K}}}}$.

Entonces, en el caso cuántico, la energía cinética promedio de las partículas libres es E_K = πkT.

$\lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m\ kT}}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi m\ kT}}},$

En el caso clásico, la energía cinética promedio de las partículas libres es E_K= 3 kT/2.

$\lambda ={\frac {h}{\sqrt {3m\ kT}}},$

donde h es la constante de Planck, m es la masa de una partícula del gas, k es la constante de Boltzmann, y T es la temperatura del gas.​

Partículas sin masa

Para una partícula sin masa, la longitud de onda térmica de De Broglie puede definirse como:

$\Lambda ={\frac {ch}{2\pi ^{1/3}kT}},$

donde c es la velocidad de la luz. Al igual que en el caso de la longitud de onda térmica para partículas con masa, en este caso Λ es del orden de la longitud de onda promedio de las partículas en el gas, y define un punto crítico en el cual los efectos cuánticos comienzan a dominar. Por ejemplo, cuando se observa el espectro a longitudes de onda grandes de la radiación de cuerpo negro, se puede aplicar la ley de Rayleigh-Jeans «clásica». Sin embargo, cuando la longitud de onda observada se aproxima a la longitud de onda térmica de los fotones del cuerpo negro que irradia, la se debe utilizar la ley de Planck cuántica.

Definición general de la longitud de onda térmica

Una definición general de la longitud de onda térmica para un gas ideal cuántico en cualquier número de dimensiones y para una relación generalizada entre la energía y el momento ha sido establecida por Yan.​ Es de importancia práctica, dado que existen muchas situaciones experimentales con diferente dimensionalidad y diferentes relaciones de dispersión. Si n es el número de dimensiones, y la relación entre energía, E y momento, p está dada por:

$E=ap^{s},$

donde a y s son constantes, entonces, la longitud de onda térmica está definida como:

$\lambda ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{kT}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma \left(\displaystyle {\frac {n}{2}}+1\right)}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {n}{s}}+1\right)}}\right]^{1/n}$

donde Γ es la función Gamma. Por ejemplo, en el caso usual de partículas con masa en un gas tridimensional, tenemos que n = 3, y E = p²/2m, lo cual da los resultados anteriores para partículas con masa. Para partículas sin masa en un gas 3D, tenemos que n = 3  y E = p c, lo cual da el resultado anterior para partículas sin masa.

Referencias

Bibliografía

• Zijun Yan, «General thermal wavelength and its applications», Eur. J. Phys. 21 (2000) 625–631.
• Vu-Quoc, Loc. «Configuration integral (statistical mechanics)». Archivado desde el original el 11 de octubre de 2008. Consultado el 12 de octubre de 2008. 

Enlaces externos

• Datos: Q900549