Recursión

Anuncio de cacao con una imagen recursiva. La mujer muestra un paquete idéntico al del propio anuncio, conteniendo así a otra mujer que muestra otro paquete más pequeño, de forma recursiva.

Imagen recursiva formada por un triángulo. Cada triángulo está compuesto de otros más pequeños, compuestos a su vez de la misma estructura recursiva.

Recursión o recursividad es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición. Siendo un poco más precisos, y para evitar el aparente círculo sin fin en esta definición, las instancias complejas de un proceso se definen en términos de instancias más simples, estando las finales más simples definidas de forma explícita.

Nota: aunque los términos "recursión" y "recursividad" son ampliamente empleados en el campo de la informática, el término correcto en castellano es recurrencia. Sin embargo este último término es algo más específico. Véase relación de recurrencia.

Los números naturales

Un ejemplo de conjunto definido de forma recurrente es el de los números naturales:

0 pertenece a N

Si n pertenece a N, entonces n+1 pertenece a N

Los números naturales es el conjunto de números enteros no negativos.

Funciones definidas de forma recurrente

Aquellas funciones cuyo dominio puede ser recursivamente definido pueden ser definidas de forma recurrente.

El ejemplo más conocido es la definición recurrente de la función factorial n!:

$n!={\begin{cases}{\mbox{si }}n=0&\Rightarrow 1\\{\mbox{si }}n\geq 1&\Rightarrow n\;(n-1)!\end{cases}}$

Con esta definición veamos como funciona esta función para el valor del factorial de 3:

3! = 3 · (3-1)!
   = 3 · 2!
   = 3 · 2 · (2-1)!
   = 3 · 2 · 1!
   = 3 · 2 · 1 · (1-1)!
   = 3 · 2 · 1 · 0!
   = 3 · 2 · 1 · 1
   = 6

Algoritmo recurrente

Un método usual de simplificación de un problema complejo es la división de este en subproblemas del mismo tipo. Esta técnica de programación se conoce como divide y vencerás y es el núcleo en el diseño de numerosos algoritmos de gran importancia, así como también es parte fundamental de la programación dinámica.

El ejemplo del cálculo recursivo del factorial de un número llevado al campo de la programación, en este ejemplo C++:

int factorial (int x)
{
  if (x < 2) return 1; // Caso base: Cuando X < 2 devolvemos 1 puesto que 1! = 1
  return x*factorial(x - 1); // Si X >= 2 devolvemos el producto de 'X' por el factorial de 'X'-1
}

El seguimiento de la recursividad programada es casi exactamente igual al ejemplo antes dado, para intentar ayudar a que se entienda mejor se ha acompañado con muchas explicaciones y con colores que diferencia los distintos sub-procesos de la recursividad.

X = 3 //Queremos 3!, por lo tanto X inicial es 3
X >= 2 -> return 3*factorial(2);
    X = 2 //Ahora estamos solicitando el factorial de 2
    X >= 2 -> return 2*factorial(1);
        X = 1 // Ahora estamos solicitando el factorial de 1
        X < 2 -> return 1;
        [En este punto tenemos el factorial de 1 por lo que volvemos marcha atrás resolviendo todos los resultados]
    return 2 [es decir: return 2*1 = return 2*factorial(1)]
return 6 [es decir: return 3*2 = return 3*factorial(2)*factorial(1)] // El resultado devuelto es 6

Ejemplos de recurrencias

Resolución de ecuaciones homogéneas de primer grado, segundo orden:

a) Se pasan al primer miembro los términos $a_{n}$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$, los cuales también podrían figurar como $a_{n+2}$, $a_{n+1}$, $a_{n}$

b) Se reemplaza $a_{n}$ por $r^{2}$, $a_{n-1}$ por $r$ y $a_{n-2}$ por $1$, quedando una ecuación de segundo grado con raíces reales y distintas $r_{1}$ y $r_{2}$.

c) Se plantea $a=u\;r_{1}n+v\;r_{2}n$

d) Debemos tener como dato los valores de los dos primeros términos de la sucesión: $A_{0}=k\,$ y $A_{1}=k^{\prime }$. Utilizando estos datos ordenamos el sistema de 2x2:

${\begin{cases}u+v=k\\u\;r_{1}+u\;r_{2}=k^{\prime }\end{cases}}$

La resolución de este sistema nos da como resultado los valores $u_{0}$ y $v_{0}$, que son números reales conocidos.

e) La solución general es:

$a_{n}=u_{0}\;r_{1}n+v_{0}\;r_{2}n$

Algunos ejemplos de recurrencia:

• Factorial -- n! = n × (n-1)!
• Sucesión de Fibonacci -- f(n) = f(n-1) + f(n-2)
• Números de Catalan -- C(2n, n)/(n+1)
• Las Torres de Hanoi
• Función de Ackermann

Véase también

• Algoritmo recursivo
• Fractal
• Sistema-L

Enlaces externos

• Ejemplo de curvas recursivas fractales