De Wikipedia, la enciclopedia libre
Sea
R
{\displaystyle R}
una relación binaria aplicada sobre un conjunto
A
{\displaystyle A}
, la clausura reflexiva o cierre reflexivo de
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
, denotada
C
R
(
R
)
{\displaystyle CR({\mathcal {R}})}
, es la relación reflexiva más pequeña aplicada sobre
A
{\displaystyle A\,}
que contiene a
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
.
En otras palabras,
C
R
(
R
)
{\displaystyle CR({\mathcal {R}})}
es la relación binaria que verifica:
R
⊆
C
R
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq CR({\mathcal {R}})}
C
R
(
R
)
{\displaystyle CR({\mathcal {R}})}
es reflexiva
Si
R
′
{\displaystyle {\mathcal {R}}'}
es una relación reflexiva tal que
R
⊆
R
′
{\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {R}}'}
, entonces
C
R
(
R
)
⊆
R
′
{\displaystyle CR({\mathcal {R}})\subseteq {\mathcal {R}}'}
Nótese que si
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
es reflexiva, entonces
C
R
(
R
)
=
R
{\displaystyle CR({\mathcal {R}})={\mathcal {R}}}
.
Cómo calcularla [ editar ]
Si la relación está dada por su matriz booleana asociada, la clausura reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
Esta última sería la matriz asociada la clausura reflexiva. A partir de esta matriz la relación
C
R
(
R
)
{\displaystyle CR({\mathcal {R}})}
se construye trivialmente.
Como ejemplo, si
X
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}
R
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
,
(
4
,
4
)
}
{\displaystyle R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}}
entonces la relación
R
{\displaystyle R}
ya es reflexiva en sí misma, por lo que no difiere de su cierre reflexivo.
Sin embargo, si alguno de los pares en
R
{\displaystyle R}
estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo.
Por ejemplo, si en el mismo conjunto
X
{\displaystyle X}
R
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
4
,
4
)
}
{\displaystyle R=\{(1,1),(2,2),(4,4)\}}
entonces el cierre reflexivo es
S
=
R
∪
{
(
x
,
x
)
:
x
∈
X
}
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
3
,
3
)
,
(
4
,
4
)
}
.
{\displaystyle S=R\cup \{(x,x):x\in X\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}.}
Véase también [ editar ]