Conjunto de Sidón

En teoría de Números, un conjunto de Sidon, denominado en honor al matemático Húngaro Simon Sidon, es una secuencia de números naturales A = {a0, a1, a2, ...} en la que todas las posibles sumas de dos de los números son diferentes ai + aj (i ≤ j). Sidón introdujo este concepto en su investigación sobre las series de Fourier.

El principal problema en el estudio de los conjuntos de Sidón,​ es encontrar el mayor número de elementos posibles en una secuencia de Sidon A que sean más pequeños que un número dado x. A pesar del gran esfuerzo investigador,​ la cuestión quedó sin resolver durante al menos 80 años. En 2010, fue finalmente resuelta​ por J. Cilleruelo, I. Ruzsa y C. Vinuesa.

Primeros resultados

Paul Erdős y Pál Turán probaron que, para todo x > 0, el número de elementos menor que x en una secuencia de Sidon es al menos ${\sqrt {x}}+O({\sqrt[{4}]{x}})$. Usando una construcción de J. Singer, probaron que existen secuencias de Sidón que contienen ${\sqrt {x}}(1-o(1))$ términos menores que x.

Infinitas secuencias de Sidón

Erdős también mostró que si consideramos una secuencia infinita de Sidón A siendo A(x) el número de elementos mayores que x, entonces

$\liminf _{x\to \infty }{\frac {A(x){\sqrt {\log x}}}{\sqrt {x}}}\leq 1$.

Esto es, hay infinitas secuencias de Sidón más pequeñas que la cadena de Sidón finita más grande.

Referencias

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. C9. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001. 

• Datos: Q748968