Discusión:Álgebra de Boole

Practicamente necesita ser re-escrito. Empezar describiendo un álgebra de boole como un reticulado (orden) distributivo y complementado, álgebras de boole isomorfas, atómicas, etc. Moriel 03:50 20 may, 2004 (CEST)

no es un anillo!

The section Álgebra de Boole#Como anillo is completely wrong, but my Spanish is not good enough to correct it. The inverses are not inverses in the usual sense of the word, because they give rise to the wrong neutral element. For the same reason, the two "abelian groups" are not groups but only commutative monoids (see monoide).

There is also a notion of Boolean ring ("anillo Booleano"?). It is almost the same as a Boolean algebra, but it uses different operations. See en:Boolean ring. --Hans Adler 19:43 27 ene 2008 (UTC)

El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo. Dani 00:06 28 ene 2008 (UTC)

Lo que no está nada claro en el artículo es que la operación de suma tiene que ser la diferencia simétrica de los conjuntos A B definida como

$A+B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

--CSTAR (discusión) 21:11 22 mar 2008 (UTC)

El algebra de Boole no es un anillo por la simple razon de que 1 no tiene elemento simetrico -1 tal que 1+(-1)=0, ya que 0 es el elemento neutro de la suma. No me atrevo a quitarlo pues no conosco bien las reglas o normas de edición de wikipedia, pero alguien debería hacerlo. - androkguz

Corrección sobre el anillo

He realizado una corrección sobre el supuesto de que un álgebra de boole es un anillos, es más, se mencionaba que era un cuerpo (campo) y que era un grupo aditivo y uno multiplicativo, lo cual es falso. Tambien me parece que y alguien más ha hecho algunas correcciones a mi defición del tipo gramatical. Muchas gracias. --Tareasigmg (discusión) 01:15 31 dic 2010 (UTC)

Sobre los axiomas

La operación de complemento se puede definir después a partir de los axiomas, y no aparecer como previa o requisito. Creo que el axioma de asociatividad puede ser eliminada como axioma. En el axioma de existencia de complementario falta poner que el elemento tiene un complementario (no necesariamente único) tal que x+/x=1 y a la vez (con el mismo /x) x*/x=0. Esto es: forall x in B exists x' in B ((x+x'=1) and (x*x'=0)). El sistema así es más corto y no redundante. Este creo que es redundante ( a no ser que al no exigir que los complementarios sean los mismos todo varíe ). Si se adopta el sistema tal como lo he dicho (Hungtinton 1904) un teorema tendría que ser la unicidad del complementario y otro la asociatividad. También habría que poner que si card B >= 2 entonces a <> /a siempre (y por lo tanto 0 <> 1). Y desde aquí es fácil ver que cada álgebra de Boole finita tiene un número par de elementos. Sería interesante poner las leyes de cancelación: a) Si existe z en B tal que ((x + z = y + z) y (x + /z = y + /z)) entonces (x=y) b) Si existe z en B tal que ((x * z = y * z) y (x + /z = y * /z)) entonces (x=y)

Sobre las mismas bases se podrían citar el sistema de axiomas de Sheffer de 1933, para dar otra visión.

Otro hecho importante es un teorema sobre la representación de álgebras de Boole finitas que es bastante característico y otro de gran interés por su belleza sería el representación de álgebras de Boole por una determinada topología sobre el ágebra de subconjuntos de uno dado de Stone.

Lo tengo todo escrito por mí en LibreOffice 3.6 pero no sé como pasarlo aquí.

Eärendel (discusión) 11:55 28 sep 2012 (UTC)

Sobre la relación de la categoría de álgebras (retículos) de Boole y la categoría de anillos Booleanos

Los problemas que se han dado con respecto a álgebras booleanas y anillos booleanos se solventarían para todos si se explicara en el artículo que para cada álgebra booleana podemos construir con facilidad un anillo booleano y viceversa siendo ambos caminos inversos. Hay que advertir que en estos anillos todos los elementos excepto {0,1} son divisores de cero. Por eso de estos anillos el único que es dominio de integridad (y por lo tanto cuerpo) es el álgebra de conmutación de dos valores.

Desde este conocimiento es más fácil partir hacia la topología de Zariski dada por un anillo, que lleva al resultado de Stone con facilidad, aunque esto quedaría fuera del artículo porque se sale de lo que se pretende. Basta con dar el teorema de representación de Stone.

Eärendel (discusión) 12:19 28 sep 2012 (UTC)

0 < 1 NO es axioma! De hecho, ni siquiera es verdad!

No es verdad que 0 < 1 en el álgebra de boole. No se cumple ya que en el álgebra trivial, formada por un sólo elemento, no se da. Notar que en ese álgebra, 0 = 1. En el resto de las booleanas (que son infinitas) se cumple, pero no podemos afirmar que 0 != 1 por culpa de una solita. :D Ya fue corregido.

--Kernel83 (discusión)

Y ENCIMA AFIRMABA QUE SÓLO POSEE DOS ELEMENTOS!!!

No es verdad que está formada SOLAMENTE por los elementos 0 y 1. Hay infinitas álgebras de boole como reticulados, no sólo la de dos elementos. Sí, esta en particular es muy utilizada por ingenieros, especialmente por los que se dedican a la electrónica digital, pero no es la única! Ya fue corregido.

--Kernel83 (discusión)

El artículo está fuertemente enfocado al álgebra de conmutación, esto es, al álgebra de Boole dónde el conjunto de Boole tiene solo 2 elementos B={0,1}

Creo que el artículo está fuertemente enfocado al álgebra de conmutación, esto es, al álgebra de Boole dónde el conjunto de Boole tiene solo 2 elementos B={0,1}. Creo que se puede hacer de forma diferente, por ejemplo: 1er enfoque: Álgebra de Boole desde los postulados de Huntington de 1903 que son:

0.1) {0,1} subseteq B, 0.2) Si #{0,1}=2 o puede ser #{0,1} in {1,2}. Creo que deberíamos ponerlo a 2 ya que sino los teoremas tienen una forma condicional que resulta un tanto engorrosa, y al fin y al cabo el álgebra de Boole trivial, de 1 solo elemento no tiene interés. 1.a) <?>+<?> : B times B -> B es una aplicación (operador infijo):

    forall (x,y) in B times B exists ! z in B x+y=z

1.b) <?>*<?> : B times B -> B es una aplicación (operador infijo):

    forall (x,y) in B times B exists ! z in B x*y=z

2.a) forall x in B x+0=x (ELEMENTO NEUTRO) 2.b) forall x in B x*1=x (ELEMENTO NEUTRO) 3.a) forall x y in B x+y=y+x (CONMUTATIVIDAD) 3.b) forall x y in B x*y=y*z (CONMUTATIVIDAD) 4.a) forall x y z in B x+(y*z) = (x+y)*(x+z) (DISTRIBUCIÓN POR LA IZQUIERDA) 4.b) forall x y z in B x*(y+z) = (x*y)+(x*z) (DISTRIBUCIÓN POR LA IZQUIERDA) 5) forall x in B exists hat x in P(B)\emptyset forall y in hat x (EXISTENCIA DE COMPLEMENTARIOS) SE CUMPLE (5.1) Y (5.2) 5.1) x + y = 1 (COMPORTAMIENTO DE LOS COMPLEMENTARIOS AL SUMARSE) 5.2) x * y = 0 (COMPORTAMIENTO DE LOS COMPLEMENTARIOS AL MULTIPLICARSE) Eärendel (discusión) 13:48 29 ene 2014 (UTC)

Pruebas para pasar el artículo que he escrito sobre Álgebras de Boole en *.odt LibreOffice a MediaWiki

1. Algunos convenios:
2. 1. $0\notin \mathbb {N}$ Ante la definición de los naturales nosotros adoptamos este convenio.
   2. ${\tilde {\mathbb {N} }}{:=}\left(\mathbb {N} \cup \left(0\right)\right)$ Conjunto de los naturales españoles que ya tiene el cero.
   3. Definición recurrente de los conjuntos ${\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }$y${\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }^{n}$ , dónde $n\in \mathbb {N} n>1$:
      1. 1. ${\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }\mathrm {\colon } =\left(\mathrm {0,1} \right)\cap \mathbb {Q}$
         2. ${{\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }}^{1}\mathrm {\colon } ={\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }$
         3. ${{\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }}^{n}\mathrm {\colon } ={{\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }}^{n-1}\times {{\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }}^{1}$
   4. Por lo general los elementos de un conjunto se representarán por letras minúsculas (alfabetos griego y latino) con o sin suscriptores (ejemplo:${a}_{3}$o$b$o${\gamma }_{1547}$o$\delta$) y dígitos decimales ($\left\lbrace \mathrm {0,1} ,\dots \mathrm {,9} \right\rbrace$), mientras que los conjuntos se representarán por letras mayúsculas (alfabetos griego y latino), igualmente con o sin suscriptores. Este convenio será válido a excepción que se exprese de forma explícita otro nombre para elementos y/o conjuntos. ## En ocasiones aseguraremos que existe un conjunto asociado a un elemento: en general serán letras mayúsculas como corresponde a un conjunto, pero con un subscriptor que escrito exactamente como el elemento. La única excepción que se dará es un elemento cubierto con la tilde circunflejo, para expresar el conjunto de elementos complementarios con uno dado. ## A veces aparecerá una operación binaria, digamos$\cdot \ast \cdot$, dónde los puntos se sustituyen con los argumentos. Cuando expresemos$a\ast B$, osea, el elemento $a$operado con un conjunto$B$, se trata una operación binaria que no es la original. Se interpretará como$a\ast B=\left\lbrace a\ast b|\forall b\in B\right\rbrace$, esto es, un conjunto. Igualmente puede ocurrir que esta misma operación aparezca entre dos conjuntos:$A\ast B=\left\lbrace a\ast b|\forall a\in A\forall b\in B\right\rbrace$. ## El universo en el que nos moveremos será$B$, por lo que para el cuantificador universal (que evitaremos en lo posible) no pondremos ningún símbolo de forma que, cuando aparezca una variable o conjunto o constante sin haber sido cuantificada supondremos que se aplica el cuantificador universal a la variable o constante situándolo dentro de$B$. Si el cuantificador universal debiera aplicarse a una variable sobre otro conjunto subconjunto del$B$se omitirá el cuantificador universal pero se precederá la sentencia con una indicación sobre la pertenencia del elemento. Para cualquier elemento en el que no aparezca su pertenencia es porque pertenece al universal$B$. Al igual, cuando una variable que asume un valor que es un conjunto este será parte de$\wp \left(B\right)\setminus \left(\varnothing \right)$, que no aparecerá de forma explícita. Para las variable conjunto se repite todo lo anterior con la diferencia de cambiar$B$por$\langle B,\left\lbrace {0}_{B},{1}_{B}\right\rbrace \subseteq B,{0}_{B}\neq {1}_{B},{\mathit {op}}\left\lbrace {\mathit {bin}}\mathrm {\colon } \left\lbrace +,\cdot \right\rbrace \right\rbrace \rangle$. # álgebra de Boole. ## Axiomas para un álgebra de Boole$\langle B,\left\lbrace {0}_{B},{1}_{B}\right\rbrace \subseteq B,{0}_{B}\neq {1}_{B},{\mathit {op}}\left\lbrace {\mathit {bin}}\mathrm {\colon } \left\lbrace +,\cdot \right\rbrace \right\rbrace \rangle$.
      La operación uno-aria que se utilizará frecuentemente (la complementación), en los axiomas será introducida como definición y no supuesta inicialmente más que como la existencia de un conjunto de elementos no vací­o asociados a otro que cumplen unos requisitos. Sin embargo esto último es tan importante en las álgebras de Boole que la forma normal de escribirse la estructura es $\left(B,\left({0}_{B},{1}_{B}\right)\subseteq B,{0}_{B}\neq {1}_{B},{\mathit {op}}\left({\mathit {bin}}\mathrm {\colon } \left(+,\cdot \right)\right),\left({\mathit {una}}\mathrm {\colon } \left({}^{}\right)\right)\right)$. Además, la distinción entre los dos neutros no siempre se requiere. Esto tiene poco impacto ya que el único álgebra de Boole dónde los 2 neutros son iguales coincide con el álgebra de Boole con un solo elemento, que es el álgebra de Boole trivial.
      Los postulados de Huntington (artículos en 1904,1932 -este último desarrolla un conjunto de 3 axiomas, uno de ellos llamado específicamente Axioma de Huntington, y no es el caso aquí expuesto, en esta primera formalización-) definen quié es un álgebra de Boole $\langle B,\left\lbrace 0,1\right\rbrace ,\left\lbrace +,\cdot \right\rbrace \rangle$:
      1. [Axioma H1] Existencia del elemento identidad:
         1. [H1.1] Para la suma $+$: $\forall x\in Bx+0=x$
         2. [H1.2] Para la multiplicación $\cdot :\forall x\in Bx\cdot 1=x$
      2. [Axioma H2] Conmutabilidad:
         1. [H2.1] Para la suma $+$: $\forall x,y\in Bx+y=y+x$
         2. [H2.2] Para la multiplicación$\cdot \colon \forall x,y\in Bx\cdot y=y\cdot x$
      3. [Axioma H3] Propiedad distributiva:
         1. [H3.1] Para la suma$+$sobre el producto$\cdot$:$\forall x,y,z\in Bx+\left(y\cdot z\right)=\left(x+y\right)\cdot \left(x+z\right)$
         2. [H3.2] Para el producto$\cdot$sobre la suma $+$:$\forall x,y,z\in Bx\cdot \left(y+z\right)=\left(x\cdot y\right)+\left(x\cdot z\right)$
      4. [Axioma H4] Existencia de complementario :
         1. $\forall x\in B\exists {\hat {x}}\subseteq B\left({\hat {x}}\neq \varnothing \wedge \forall y\in {\hat {x}}\left(\left\lbrack x+y=1\right\rbrack \wedge \left\lbrack x\cdot y=0\right\rbrack \right)\right)$ De este axioma pondremos dos subfórmulas que utilizaremos de forma expresa:
            1. $\forall x\in B\forall y\in {\hat {x}}\left(x+y=1\right)$
            2. $\forall x\in B\forall y\in {\hat {x}}\left(x\cdot y=0\right)$
         2. Una forma más breve de expresarlo, pero que a nosotros nos conviene menos es : $\forall x\in B\exists y\in B\left(\left(x+y=1\right)\wedge \left(x\cdot y=0\right)\right)$Como ejemplos que cumplen los anteriores postulados o axiomas vamos a desarrollar unos cuántos.
            

[Ejemplo 1] El primero y más sencillo de ver es el álgebra de las partes de un conjunto. Dado un conjunto cualquiera$U\neq \varnothing$,${\mathcal {P}}(U)=\left\lbrace X|X\subseteq U\right\rbrace$, esto es,${\mathcal {P}}(U)=\left\lbrace X|\forall x\left(\left(x\in X\right)\Rightarrow \left(x\in U\right)\right)\right\rbrace$, dónde se verifica que$\left(\varnothing \in {\mathcal {P}}(U)\right)\wedge \left(U\in {\mathcal {P}}(U)\right)$. Haremos $\left(B\mathrm {\colon } ={\mathcal {P}}(U)\right),\left(0\mathrm {\colon } =\varnothing \right)y\left(1\mathrm {\colon } =U\right)$, como producto lógico pondremos la intersección de conjuntos$\forall X,Y\in {\mathcal {P}}(U)X\cdot Y\mathrm {\colon } =X\cap Y$, como suma lógica pondremos la unión de conjuntos$\forall X,Y\in {\mathcal {P}}(U)X+Y\mathrm {\colon } =X\cup Y$. Las tres primeras (dobles) propiedades son directamente cumplidas por la estructura construida y la existencia del complementario es fácil de ver. Sea $\forall X\in {\mathcal {P}}(U)\Rightarrow \exists Y\mathrm {\colon } =U\setminus X$y a partir de ahí sabemos que $Y\in {\mathcal {P}}(U)$puesto que$\forall x\in Yx\in U\setminus X\Rightarrow x\in U$y en el caso que$X=U$tenemos que $Y=U\setminus X=U\setminus U=\varnothing$de forma que$\varnothing \in {\mathcal {P}}(U)$por definición. Ahora sólo se trata de ver que$Y\cdot X=Y\cap X=\left(U\setminus X\right)\cap X=\varnothing =0$y que la propiedad dual a cumplir$Y+X=Y\cup X=\left(U\setminus X\right)\cup X=U=1$. Ya tenemos que$\forall X\in {\mathcal {P}}(U)\exists Y\in {\mathcal {P}}(U)Y\in {\overline {X}}$habiendo tomado$Y\mathrm {\colon } =U\setminus X$.
[Ejemplo 2] Un ejemplo interesante fácil de construir es el álgebra de Boole de los números que son producto de los primeros números primos (cantidad finita de ellos) y sus divisores. Consideramos el conjunto${P}_{n}\mathrm {\colon } =\left\lbrace 2,3,\dots ,{p}_{n}\right\rbrace$, consideraremos el$1$booleano cómo ${1}_{B}\mathrm {\colon } =\prod _{q\in {P}_{n}}q$y el$0$cómo${0}_{B}\mathrm {\colon } ={1}_{\mathbb {N} }$. Consideramos a$B\mathrm {\colon } =\left\lbrace n\in \mathbb {N} |n|\left(\prod {P}_{n}\right)\right\rbrace$, y las operaciones serán el mínimo común múltiplo como suma booleana y el máximo común divisor como producto booleano. El complemento de un elemento resulta ser$\forall k\in B{\overline {k}}={1}_{B}/k=\prod _{q\in \left\lbrace p\in {P}_{n}|p\nmid k\right\rbrace }q$. éste es un modelo fácil de desarrollar para poner ejemplos.
[Ejemplo 3] Partimos de un álgebra de Boole cualquiera y un elemento no$0$ni$1$cualquiera tal que$x\in \left(B\setminus \left\lbrace \mathrm {0,1} \right\rbrace \right)$. Definimos ahora un conjunto${B}_{\leq x}\mathrm {\colon } =\left\lbrace y\in B|x\cdot y=y\right\rbrace$y${B}_{\geq x}\mathrm {\colon } =\left\lbrace y\in B|x\cdot y=x\right\rbrace$. Las álgebras de Boole nuevas a considerar son $\langle {B}_{\leq x},\left\lbrace 0\equiv {0}_{B},1\equiv x\right\rbrace ,\left\lbrace {+}_{B},{\cdot }_{B}\right\rbrace \rangle$y$\langle {B}_{\geq x},\left\lbrace 0\equiv x,1\equiv {1}_{B}\right\rbrace ,\left\lbrace {+}_{B},{\cdot }_{B}\right\rbrace \rangle$. Consideramos el mismo producto booleano que en el conjunto inicial e idénticamente con la suma booleana. Sólo varía el complemento, de la siguiente forma$y\in {B}_{\geq x}\Rightarrow y{\text{'}}={\overline {y}}+x$y$y\in {B}_{\leq x}\Rightarrow y{\text{'}}={\overline {y}}\cdot x$. Es fácil comprobar la validez de esta definición de un álgebra de Boole, de manera más concreta, que las operaciones son internas y el complemento declarado es también interno y se comporta como complemento del nuevo álgebra, esto es,$y\in {B}_{\geq x}\Rightarrow y{\text{'}}\cdot y=x\wedge y{\text{'}}+y=1$ que$y\in {B}_{\leq x}\Rightarrow y{\text{'}}\cdot y=0\wedge y{\text{'}}+y=x$.
[Ejemplo 4] El álgebra de las proposiciones. éste es sin duda, el primer desarrollo que se hizo del álgebra de Boole, hecha por el propio George Boole en mitad del siglo XIX (edición 1851). Lo desarrolló como una “Una investigación en las leyes del pensamiento”. Amigo suyo que lo ayudó a penetrar los ambientes académicos es Augustus De Morgan. Desde Aristóteles (que funda por primera vez la lógica como ciencia analítica) en el siglo IV a. C. no había habido ningún adelanto sustancial en la lógica. Kant (medio siglo antes de Boole) había considerado que la lógica era un cuerpo de doctrina cerrado y completo (esto es, no había nada más que decir que lo que ya había desarrollado y escrito Aristóteles en sus "Tratados de Lógica" u "í“rganon", hacía ya 2.300 aíños). Aunque la verdadera revolución se da algunos años más tarde con Frege, el lógico más importante desde Aristóteles. Si doy estos datos sobre la historia de la lógica que todos asociaréis más a la filosofía, que parece queda muy lejos del propósito de unos apuntes de matemáticas discretas que cubran de la forma más amplia posible los Fundamentos de Electrónica en su parte Digital, es porque no queda tan lejos. La idea de hacer un lenguaje dónde el razonamiento siguiera unas pautas claras de forma que siempre quedara todo tan cierto como en las matemáticas era ya antiguo. Aristóteles ya advertía de una cierta in-definición insuperable de los términos más importantes de la filosofía (en realidad de casi todos los conceptos de la vida ordinaria): "existen conceptos o ideas que corresponden con la realidad que no se usan de forma equívoca “ esto es, su uso no es equívoco, este mismo concepto, palabra o idea que hablamos no se refiere a realidades distintas y diferenciadas, de forma que nos llevan a confusión “ pero tampoco de forma unívoca “ como las definiciones desde axiomas en un lenguaje formal matemático, así tenemos que existen conceptos análogos" (es una glosa de palabras de Aristóteles). En la Modernidad, dado que el concepto de analogía lleva aparejado un tratamiento difícil que no lleva fácilmente a certeza, se intentan buscar criterios de certeza absoluta y unas definiciones que aparentemente son unívocas y se tratan como tales. Es significativo el nombre (y la estructura interna) de una importante obra de Spinoza: "ética demostrada según el orden geométrico". Será Leibniz quién escriba ya cumplidamente sobre la necesidad de establecer un léxico completamente unívoco (una tarea mastodonte, o mejor, imposible) y un "cálculo" del pensamiento, de forma que "una cuestión como la existencia de Dios pueda ser resuelto mediante la resolución de unas ecuaciones de pensamiento" (de nuevo es una glosa). Se empezaba a buscar con ansiedad una mecanización del pensamiento. Esta idea fue muy fructífera, dando un primer paso hacia ella George Boole que hace un álgebra de las proposiciones. Esta álgebra no era más amplia que la de Aristóteles, pero permitía el cálculo al modo matemático. De aquí a la llegada de Frege, ya, Charles Babbage diseíña y realiza (sin éxito debido al trabajo de mecanizado excesivamente minucioso que requería el diseíño) una computadora universal mecánica (mediante engranajes) prácticamente similar al modelo de Von Neumann. La condesa de Lovelace (Ada) es el matemático que hace los primeros programas en lenguaje ensamblador de la máquina de Babbage. La primera programadora de la historia. Después de Frege siguen los desarrollos con gente como Bertrand Russell, David Hilbert y otros, hasta los increíbles resultados de Gödel que ponen punto final a muchas de las pretensiones de mecanización del pensamiento, pero que son ya base de la computación moderna, siendo los trabajos definitivos los de Alan Turing. Como veis el camino recorrido es largo y complicado, siendo el momento crucial para el arranque de la ingeniería digital los trabajos de George Boole. No he mencionado el papel de las máquinas de cifrado y descifrado de mensajes en la Gran Guerra y la II Guerra Mundial (en las que intervinieron muchos de las mentes antes mencionadas).
De manera un tanto informal podemos ver una proposición (una frase que afirma o niega una propiedad de un objeto, una relación entre objetos o la existencia del mismo, una frase que ha de ser o verdadero,${1}_{B}\mathrm {\colon } =V\equiv {\mathit {true}}$, a falso,${0}_{B}\mathrm {\colon } =F\equiv {\mathit {false}}$) o conjunto de proposiciones pueden ser operadas mediante la conjunción €˜y€™, A €˜y€™ B es verdadero si A es verdadero y B es verdadero a la vez y falso en cualquier otro caso. La disyunción sería la €˜o€™, siendo A €˜o€™ B verdadero con que A sea verdadero o lo sea B, siendo falso sólo cuando A es falso y B es falso a la vez. La notación más habitual es $+\mathrm {\colon } =\vee \equiv {\text{or}}\equiv ||$y$\cdot \mathrm {\colon } =\wedge \equiv {\text{and}}\equiv \&\&$. Para el €˜no€™ (negación) tenemos que${\overline {A}}\mathrm {\colon } =\neg A\equiv {\text{not}}A\equiv /A$. El conjunto de Boole es el conjunto de proposiciones de la que partamos.
De manera más formal se considera un elemento del álgebra de Boole de la lógica a las clases de equivalencia de las proposiciones equivalentes lógicamente (en su valor de verdad o falsedad) entre sí.
[Ejemplo 5] El álgebra de conmutación. Este es el álgebra de Boole más sencillo que hay:$B\mathrm {\colon } ={B}_{2}\equiv \left\lbrace 0,1\right\rbrace$. Las operaciones las concretaremos en tablas:
$\left({\begin{array}{ccc}+&0&1\\0&0&1\\1&1&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}\cdot &0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}{\overline {}}&0&1\\&1&0\end{array}}\right)$
y podréis comprobar fácilmente que se cumplen todos los postulados de Huntington. ésta será usada frecuentemente durante el curso. Esta álgebra está contenido en todo álgebra de Boole.
[Ejemplo 6] El álgebra de Boole de 4 elementos. Este es el álgebra de Boole generada por un conjunto de 2 elementos. Es singular en el sentido que sólo tiene 3 niveles, el más bajo$\left\lbrace 0\mathrm {\colon } =\left\lbrace \right\rbrace \equiv \varnothing \right\rbrace$, el intermedio$\left\lbrace \left\lbrace \alpha \right\rbrace ,\left\lbrace \beta \right\rbrace \right\rbrace$, y el superior$\left\lbrace 1\mathrm {\colon } =\left\lbrace \alpha ,\beta \right\rbrace \right\rbrace$. $B\mathrm {\colon } ={B}_{4}\equiv \left\lbrace 0,a,b,1\right\rbrace$. Las operaciones las concretaremos en tablas:
$\left({\begin{array}{ccccc}+&0&a&b&1\\0&0&a&b&1\\a&a&a&1&1\\b&b&1&b&1\\1&1&1&1&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccccc}+&0&a&b&1\\0&0&0&0&0\\a&0&a&0&a\\b&0&0&b&b\\1&0&a&b&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccccc}{\overline {}}&0&a&b&1\\&1&b&a&0\end{array}}\right)$
y podréis comprobar fácilmente que se cumplen todos los postulados de Huntington si cam­biáis$a$por$\left\lbrace \alpha \right\rbrace$,$b$por$\left\lbrace \beta \right\rbrace$,$1$por$\left\lbrace \left\lbrace \alpha \right\rbrace ,\left\lbrace \beta \right\rbrace \right\rbrace$y$0$por el conjunto vacío$\varnothing$.
[Ejemplo 7] El álgebra de Boole de 8 elementos. Este es el álgebra de Boole generada por un conjunto de 3 elementos. Es singular en el sentido que sólo tiene 4 niveles, el más bajo$\left\lbrace 0\right\rbrace$, el de átomos$\left\lbrace a,b,c\right\rbrace$, el de hiperátomos$\left\lbrace A,B,C\right\rbrace$y el superior$\left\lbrace 1\right\rbrace$. Los niveles de átomos y de hiperátomos son especialmente importantes, siendo esta álgebra de Boole, la más pequeíña que los diferencia. Sería:
$B\mathrm {\colon } ={B}_{8}\equiv \left\lbrace 0,a,b,c,A,C,B,1\right\rbrace$
Las operaciones las concretaremos en tablas:
$\left({\begin{array}{ccccccccc}+&0&a&b&c&A&C&B&1\\0&0&a&b&c&A&C&B&1\\a&a&a&A&C&A&C&1&1\\b&b&A&b&B&A&1&B&1\\c&c&C&B&c&1&C&B&1\\A&A&A&A&1&A&1&1&1\\C&C&C&1&C&1&C&1&1\\B&B&1&B&B&1&1&B&1\\1&1&1&1&1&1&1&1&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccccccccc}\cdot &0&a&b&c&A&C&B&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\a&0&a&0&0&a&a&0&a\\b&0&0&b&0&b&0&b&b\\c&0&0&0&c&0&c&c&c\\A&0&a&b&0&A&a&b&A\\C&0&a&0&c&a&C&c&C\\B&0&0&b&c&b&c&B&B\\1&0&a&b&c&A&C&B&1\end{array}}\right)$
$\left({\begin{array}{ccccccccc}\neg &0&a&b&c&A&C&B&1\\&1&B&C&A&c&b&a&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{B}_{8}\rightarrow \wp \left\lbrace \alpha ,\beta ,\gamma \right\rbrace &0\rightarrow \varnothing \\a\rightarrow \left\lbrace \alpha \right\rbrace &b\rightarrow \left\lbrace \beta \right\rbrace \\c\rightarrow \left\lbrace \gamma \right\rbrace &A\rightarrow \left\lbrace \alpha ,\beta \right\rbrace \\C\rightarrow \left\lbrace \gamma ,\alpha \right\rbrace &B\rightarrow \left\lbrace \beta ,\gamma \right\rbrace \\1\rightarrow \left\lbrace \alpha ,\beta ,\gamma \right\rbrace &x\cdot y\rightarrow x\cap y\\x+y\rightarrow x\cup y&{\overline {x}}\rightarrow \left\lbrace \alpha ,\beta ,\gamma \right\rbrace \setminus x\end{array}}\right)$
y podréis comprobar fácilmente que se cumplen todos los postulados de Huntington si tenéis en cuenta los cambios aconsejados en el cuadro entre llaves, dónde las flechas quieren decir "substituir por".
[Ejemplo 8] El álgebra de Boole de 16 elementos. Este es el álgebra de Boole generada por un conjunto de 4 elementos. Es ya un álgebra de Boole completamente regular. Tiene 5 niveles, el más bajo el$\left\lbrace 0\right\rbrace$, el de átomos$\left\lbrace \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \right\rbrace$, el de hiperátomos$\left\lbrace \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma ,\Delta \right\rbrace$, el intermedio$\left\lbrace a,b,c,d,e,f\right\rbrace$y finalmente el nivel superior con el$\left\lbrace 1\right\rbrace$. Sería:
$B\mathrm {\colon } ={B}_{16}\equiv \left\lbrace 0,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,a,b,c,d,e,f,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma ,\Delta ,1\right\rbrace$
Las operaciones las concretaremos en tablas:
$\left({\begin{array}{ccccccccccccccccc}+&0&\alpha &\beta &\gamma &\delta &a&b&c&d&e&f&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &1\\0&0&\alpha &\beta &\gamma &\delta &a&b&c&d&e&f&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &1\\\alpha &\alpha &\alpha &a&b&c&a&b&c&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &1&1\\\beta &\beta &a&\beta &d&e&a&\mathrm {A} &\mathrm {B} &d&e&\Delta &\mathrm {A} &\mathrm {B} &1&\Delta &1\\\gamma &\gamma &b&d&\gamma &f&\mathrm {A} &b&\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &f&\mathrm {A} &1&\Gamma &\Delta &1\\\delta &\delta &c&e&f&\delta &\mathrm {B} &\Gamma &c&\Delta &e&f&1&\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &1\\a&a&a&a&\mathrm {A} &\mathrm {B} &a&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\mathrm {A} &\Delta &1&\mathrm {A} &\mathrm {B} &1&1&1\\b&b&b&\mathrm {A} &b&\Gamma &\mathrm {A} &b&\mathrm {B} &\mathrm {A} &1&\Gamma &\mathrm {A} &1&\Gamma &1&1\\c&c&c&\mathrm {B} &\Gamma &c&\mathrm {B} &\Gamma &c&1&\mathrm {B} &\Gamma &1&\mathrm {B} &1&\Delta &1\\d&d&\mathrm {A} &d&d&\Delta &\mathrm {A} &\mathrm {A} &1&d&\Delta &\Delta &\mathrm {A} &1&1&\Delta &1\\e&e&\mathrm {B} &e&\Delta &e&\mathrm {B} &1&\mathrm {B} &\Delta &e&\Delta &1&\mathrm {B} &1&\Delta &1\\f&f&\Gamma &\Delta &f&f&1&\Gamma &\Gamma &\Delta &\Delta &f&1&1&\Gamma &\Delta &1\\\mathrm {A} &\mathrm {A} &\mathrm {A} &\mathrm {A} &\mathrm {A} &1&\mathrm {A} &\mathrm {A} &1&\mathrm {A} &1&1&\mathrm {A} &1&1&1&1\\\mathrm {B} &\mathrm {B} &\mathrm {B} &\mathrm {B} &1&\mathrm {B} &\mathrm {B} &1&\mathrm {B} &1&\mathrm {B} &1&1&\mathrm {B} &1&1&1\\\Gamma &\Gamma &\Gamma &1&\Gamma &\Gamma &1&\Gamma &\Gamma &1&1&\Gamma &1&1&\Gamma &1&1\\\Delta &\Delta &1&\Delta &\Delta &\Delta &1&1&1&\Delta &\Delta &\Delta &1&1&1&\Delta &1\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\end{array}}\right)$ $\left({\begin{array}{ccccccccccccccccc}\neg &0&\alpha &\beta &\gamma &\delta &a&b&c&d&e&f&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &1\\&1&\Delta &\Gamma &\mathrm {B} &\mathrm {A} &f&e&d&c&b&a&\delta &\gamma &\beta &\alpha &0\end{array}}\right)$ $\left({\begin{array}{ccccccccccccccccc}\cdot &0&\alpha &\beta &\gamma &\delta &a&b&c&d&e&f&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\alpha &\alpha &\alpha &0&0&0&\alpha &\alpha &\alpha &0&0&0&\alpha &\alpha &\alpha &0&\alpha \\\beta &\beta &0&\beta &0&0&\beta &0&0&\beta &\beta &0&\beta &\beta &0&\beta &\beta \\\gamma &\gamma &0&0&\gamma &0&0&\gamma &0&\gamma &0&\gamma &\gamma &0&\gamma &\gamma &\gamma \\\delta &\delta &0&0&0&\delta &0&0&\delta &0&\delta &\delta &0&\delta &\delta &\delta &\delta \\a&a&\alpha &\beta &0&0&a&\alpha &\alpha &\beta &\beta &0&a&a&\alpha &\beta &a\\b&b&\alpha &0&\gamma &0&\alpha &b&\alpha &\gamma &0&\gamma &a&a&\alpha &\beta &b\\c&c&\alpha &0&0&\delta &\alpha &\alpha &c&0&\delta &\delta &\alpha &c&c&\delta &c\\d&d&0&\beta &\gamma &0&\beta &\gamma &0&d&\beta &\gamma &d&\beta &\gamma &d&d\\e&e&0&\beta &0&\delta &\beta &0&\delta &\beta &e&\delta &\beta &e&\delta &e&e\\f&f&0&0&\gamma &\delta &0&\gamma &\delta &\gamma &\delta &f&\gamma &\delta &f&f&f\\\mathrm {A} &\mathrm {A} &\alpha &\beta &\gamma &0&a&b&\alpha &d&e&\gamma &\mathrm {A} &a&b&d&\mathrm {A} \\\mathrm {B} &\mathrm {B} &\alpha &\beta &0&\delta &a&\alpha &c&\beta &e&\delta &a&\mathrm {B} &c&d&\mathrm {B} \\\Gamma &\Gamma &\alpha &0&\gamma &\delta &\alpha &b&c&\gamma &\delta &f&b&c&\Gamma &f&\Gamma \\\Delta &\Delta &0&\beta &\gamma &\delta &\beta &\gamma &\delta &d&e&f&d&e&f&\Delta &\Delta \\1&1&\alpha &\beta &\gamma &\delta &a&b&c&d&e&f&\mathrm {A} &\mathrm {B} &\Gamma &\Delta &1\end{array}}\right)$ y podréis comprobar fácilmente que se cumplen todos los postulados de Huntington, con solo tener en cuenta que todos los elementos se pueden poner en función de $\alpha \beta \gamma \delta$y sumas de ellos. Las sumas de dos de los anteriores elementos son $abcdef$y las sumas de tres de ellos son $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma \Delta$.

[Ejemplo 9] El álgebra de Boole de los conjuntos que se pueden expresar como unión disjunta finita de subintervalos genéricos de$\left(\mathrm {0,1} \right)\cap \mathbb {Q}$. Definimos por conveniencia ${\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }{:=}{\left(0,1\right)}_{\mathbb {Q} }$. Para esto haremos abstracción de cualquier conjunto finito de puntos de ${\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }$, esto es, consideraremos que dos conjuntos son iguales si su diferencia simétrica (la unión de las diferencias, los elementos que no son comunes de ambos conjuntos) es vacía o es un conjunto finito de puntos. Esta álgebra de Boole tiene un cardinal infinito numerable (como el cardinal de los números naturales). Lo más importante es que no puede desarrollarse de manera semejante a como desarrollamos el álgebra de las partes de un conjunto. Lo formalizaremos del siguiente modo:

1. 1. $a,b\in {\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }a<b\Rightarrow {\left(a,b\right)}_{\mathbb {Q} }\mathrm {\colon } {=}\left(a,b\right)\cap \mathbb {Q} \mathrm {\colon } {=}\left(x\in {\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }|a\leq x\leq b\right)$
      1. Si escribimos${\left(a,b\right)}_{\mathbb {Q} }$entonces $a<b\wedge a\neq b$
      2. Sea${\mathrm {II} }_{\mathbb {Q} }\mathrm {\colon } {=}\left({\left(a,b\right)}_{\mathbb {Q} }|a,b\in {\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }\wedge a<b\wedge a\neq b\right)$
      3. Sea Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle {\mathrm{III}}_{\mathbb{Q}}\mathrm{\colon}{=}\left\lbrace A\in \mathcal{P} \left({\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}\right\rbrace | A={\cup }_{\lambda \in \Lambda }{I}_{\lambda } \forall \lambda \in \Lambda {I}_{\lambda }\in {\mathrm{II}}_{\mathbb{Q}}\ # \left(\Lambda \right)\in \tilde{\mathbb{N}}\right)\cup \left(\varnothing \right)}
      4. SeaError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \mathit{Fin}\left({\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}\right)\mathrm{\colon}{=}\left(A\in \wp \left({\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}\right)|\ # \left(A\right)\in \stackrel{\tilde }{\mathbb{N}}\right)}
      5. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A,B\in \wp \left({\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}\right)A\approx B\mathrm{\colon}{=}\# \left(A–³B\right)\in \stackrel{\tilde }{\mathbb{N}}} Esta relación es de equivalencia.
         1. Reflexiva Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \# \left(A–³A\right)=\# \left(\varnothing \right)=0\in \stackrel{\tilde }{\mathbb{N}}} Luego$A\approx A$
         2. SimétricaError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A–³B=B–³A\mathrm{.}\Rightarrow \mathrm{.}A\approx B\Leftrightarrow B\approx A}
         3. Transitiva$A\approx B\wedge B\approx C\Rightarrow A\approx C$
            1. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \ # \left(A–³B\right)={n}_{1}\in \stackrel{\tilde }{\mathbb{N}}\wedge \ # \left(B–³C\right)={n}_{2}\in \stackrel{\tilde }{\mathbb{N}}\mathrm{.}\Rightarrow \mathrm{.}\ # \left(A–³C\right)\le {n}_{1}+{n}_{2}\in \stackrel{\tilde }{\mathbb{N}}} Y queda demostrada la propiedad transitiva.
      6. A partir de aquí hablaremos de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Ÿ¦AŸ§} para hablar de la clase de equivalencia de $A\in {\mathrm {III} }_{\mathbb {Q} }$bajo la relación de equivalencia$\approx$
      7. A partir de aquí hablaremos de nuestro conjunto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle {\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}^{\mathrm{GEN}}\left(\mathrm{0,1}\right)\mathrm{\colon}{=}\left(Ÿ¦AŸ§|A\in {\mathrm{III}}_{\mathbb{Q}}\right)}
      8. Nuestro conjunto de Boole será $B\mathrm {\colon } {=}{\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }^{\mathrm {GEN} }\left(\mathrm {0,1} \right)$
      9. ElError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 0\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦\varnothing Ÿ§}
      10. ElError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 1\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦{\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}Ÿ§}
      11. Ahora veremos unas operaciones muy cercanas a la unión, la intersección y el complemento, que realmente nos dan un álgebra de Boole sobre ${\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }^{\mathrm {GEN} }$:
          Error al representar (función desconocida «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{c}Ÿ¦AŸ§,Ÿ¦BŸ§\in {\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}^{\mathrm{GEN}}\\ Ÿ¦AŸ§+Ÿ¦BŸ§\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦A\cup BŸ§\\ Ÿ¦AŸ§\cdot Ÿ¦BŸ§\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦A\cap BŸ§\\ \overline{Ÿ¦AŸ§}\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦{\left(\mathrm{0,1}\right)}_{\mathbb{Q}}\setminus AŸ§\end{array}} ### Convenio de notación:Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Ÿ¦a,bŸ§\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦{\left(a,b\right)}_{\mathbb{Q}}Ÿ§} . Estos conjuntos serán nuestros subintervalos genéricos del intervalo-unidad genérico.
      12. Sea una sucesión finita de un número par$2\cdot n$de elementos de${\left(\mathrm {0,1} \right)}_{\mathbb {Q} }$, estrictamente creciente${0}_{\mathbb {Q} }\leq {a}_{1}<{b}_{1}<{a}_{2}<{b}_{2}<\dots <{a}_{n}<{b}_{n}\leq {1}_{\mathbb {Q} }$dispuestos como
          Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Ÿ¦{a}_{1},{b}_{1},{a}_{2},{b}_{2},\dots ,{a}_{n},{b}_{n}Ÿ§} definirán los elementos de${\mathrm {I} }_{\mathbb {Q} }^{\mathrm {GEN} }$, aparte de Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Ÿ¦Ÿ§\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦\varnothing Ÿ§=Ÿ¦\left\lbrace 0\right\rbrace Ÿ§=Ÿ¦\left\lbrace 1\right\rbrace Ÿ§={0}_{{\mathrm{I}}_{B}^{\mathrm{GEN}}}}
      13. Si escribimosError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Ÿ¦{a}_{1},{b}_{1},{a}_{2},{b}_{2},\dots ,{a}_{n},{b}_{n}Ÿ§} , significamos ya (suponemos que es un hecho que)${0}_{\mathbb {Q} }\leq {a}_{1}<{b}_{1}<{a}_{2}<{b}_{2}<\dots <{a}_{n}<{b}_{n}\leq {1}_{\mathbb {Q} }$
      14. Ahora ya definimos (notación): Error al representar (función desconocida «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{c}Ÿ¦{a}_{1},{b}_{1},{a}_{2},{b}_{2},\dots ,{a}_{n},{b}_{n}Ÿ§\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦\left\lbrace x\in {\left\lbrack \mathrm{0,1}\right\rbrack }_{\mathbb{Q}}|\exists 1\le k\le n\in \mathbb{N}x\in {\left\lbrack {a}_{k},{b}_{k}\right\rbrack }_{\mathbb{Q}}\right\rbrace Ÿ§\equiv \\ \equiv Ÿ¦{\cup }_{k=1}^{n}\left\lbrack {a}_{k},{b}_{k}\right\rbrack Ÿ§\end{array}}
      15. Ahora ya tenemos el conjunto de Boole que buscábamos:
          Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle {\left(Ÿ¦\mathrm{0,1}Ÿ§\right)}_{\mathrm{I}}\mathrm{\colon}{=}\left(Ÿ¦{a}_{\mathrm{1,}}{b}_{\mathrm{1,}}\dots ,{a}_{n},{b}_{n}Ÿ§|\exists n\in \mathbb{N}{0}_{\mathbb{Q}}\le {a}_{1}< {b}_{1}< \dots < {a}_{n}< {b}_{n}\le {1}_{\mathbb{Q}}\right)\cup \left(Ÿ¦Ÿ§\right)}

Que las uniones, complementos e intersecciones de intervalos genéricos finitos siguen siendo intervalos genéricos finitos es claro desde el principio. Sin embargo voy a exponer la cabalística, hacer las cuentas vamos, para que no quede lugar a dudas. Con toda esta comprobación (o redefinición) de que $B$ es cerrado bajo las distintas operaciones es laborioso, un tanto enojoso.

La operación de complemento queda de la siguiente manera, y aunque aún no podemos comprobar aún su corrección, si queda claro que es un operación unaria interna:

Error al representar (función desconocida «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{c}\forall A\in B\forall \mathrm{A}\in A{A}^{\mathrm{I}}\mathrm{\colon }=Ÿ¦{\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}\setminus \mathrm{A}Ÿ§\\ \text{Sea}\mathrm{A}=\underset{k=1}{\overset{n}{\cup }}\left({a}_{k},{b}_{k}\right)\\ {A}^{\mathrm{I}}\equiv \left(\begin{array}{ccc}Ÿ¦\mathrm{0,}{a}_{1},{b}_{\mathrm{1,}}{a}_{2},\dots ,{b}_{n-1},{a}_{n},{b}_{n}\mathrm{,1}Ÿ§& \Leftarrow & {a}_{1}\ne 0\wedge {b}_{n}\ne 1\\ Ÿ¦{b}_{\mathrm{1,}}{a}_{2},\dots ,{b}_{n-1},{a}_{n},{b}_{n}\mathrm{,1}Ÿ§& \Leftarrow & {a}_{1}=0\wedge {b}_{n}\ne 1\\ Ÿ¦{b}_{\mathrm{1,}}{a}_{2},\dots ,{b}_{n-1},{a}_{n}Ÿ§& \Leftarrow & {a}_{1}=0\wedge {b}_{n}=1\\ Ÿ¦\mathrm{0,}{a}_{1},{b}_{\mathrm{1,}}{a}_{2},\dots ,{b}_{n-1},{a}_{n}Ÿ§& \Leftarrow & {a}_{1}\ne 0\wedge {b}_{n}=1\\ Ÿ¦\varnothing Ÿ§& \Leftarrow & {a}_{1}=0\wedge {b}_{1}=1\\ Ÿ¦\mathrm{0,1}Ÿ§& \Leftarrow & \left\lbrace \varnothing \right\rbrace \in A\end{array}\right)\end{array}} De dónde obtenemos$\forall A\in B\exists {A}^{\mathrm {I} }\in B$. Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 0\in B0\mathrm{\colon }=Ÿ¦\varnothing Ÿ§\equiv Ÿ¦Ÿ§} yError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 1\in B1\mathrm{\colon }=Ÿ¦\mathrm{0,1}Ÿ§} y${0}^{\mathrm {I} }=1\wedge {1}^{\mathrm {I} }=0$Además observamos con claridad que$\forall A\in B\exists {A}^{\mathrm {I} }\in B$tal queError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A+{A}^{\mathrm{I}}=Ÿ¦{\mathrm{I}}_{\mathbb{Q}}Ÿ§=1} yError al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A\cdot {A}^{\mathrm{I}}=Ÿ¦Ÿ§=0} , además de$\forall A\in B{{A}^{\mathrm {I} }}^{\mathrm {I} }=A$. Así nos queda Error al representar (función desconocida «\textasciimacron»): {\displaystyle {A}^{\mathrm{I}}\equiv \stackrel{\textasciimacron }{A}} si se verifican los demás axiomas. La suma quedará de la siguiente forma : Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \forall A,B\in {\left(Ÿ¦\mathrm{0,1}Ÿ§\right)}_{\mathrm{I}}\exists \left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)\subset \left(A\times B\right)A+B\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦\mathrm{A}\cup \mathrm{B}Ÿ§} El producto seguirá un camino par: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \forall A,B\in {\left(Ÿ¦\mathrm{0,1}Ÿ§\right)}_{\mathrm{I}}\exists \left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)\subset \left(A\times B\right)A\cdot B\mathrm{\colon}{=}Ÿ¦\mathrm{A}\cap \mathrm{B}Ÿ§} Sólo queda ver que efectivamente las operaciones son internas:

Prueba:

Enlaces rotos

• ftp://ftp.ehu.es/cidira/dptos/depjt/Apuntes/Electronica%20digital/Algebra%20de%20conmut.pdf
• http://web.archive.org/web/http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/elec3-cap4.pdf Álgebra Booleana
• http://paginaspersonales.deusto.es/zubia
• http://users.dcc.uchile.cl/~clgutier/Capitulo_3.pdf
• http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf

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