Discusión:Función matemática/respaldo

Se agradece su interés por colaborar, pero para que la wikipedia sea confiable es necesario que antes de escribir se documenten bien. Los articulos deben sustentarse en una bibliografía confiable.

La entrada de función tiene muchos errores y casos particulares de funciones se tratan como algo general en el concepto de función. Me da la impresión de que los casos particulares fueron tomados de notas de algún curso donde se estudia alguna función en particular.

La definición de función como caso particular de una relación binaria es la correcta, es importante incluir sus propiedades como ser parcial o total, sobre, inyectiva, biyectiva. Las operaciones que hay entre funciones como la composición y la inversa de una función también estan fuertemente ligadas a la entrada.

Deben mencionarse otros nombres que se usan para función en distintas áreas como es el caso de los (homo)morfismos, aplicaciones, mapeos. Con una breve descripción del uso que se les da y una liga al artículo especialzado. Por ejemplo mofismo puede apuntar a la entrada de teoría de categorías.

También deben haber ligas a las disciplinas que las estudian con una breve sinopsis del tema. Por ejemplo: El análisis matemático las funciones en los reales. La teoría de categorías tiene como ingrediente principal las funciones (donde se les llama morfismos), a diferencia de la teoría de conjuntos donde todo es un conjunto. Las funciones recursivas se avocan al estudio de la computabilidad. El cálculo lambda estudia las funciones computables. etc.

Ya en la entrada de funciones reales se aclarará que es importante estudiar si son continuas, crecientes decrecientes, etc. Pero no traten de incluir todo, en el artículo general de funciones porque resulta confuso e innecesariamente extenso.

En mi opinion es todo lo que debe llevar el artículo de función. Con gusto colaboraré en los artículos pero no tiene caso dedicarle tiempo a corregirlos para que algún colega, bien intensionado pero mal documentado lo arruine. Tal vez no fuí muy amable, y no quiero generalizar hay algunos comentarios que son correctos, pero otros que se nota que son de estudiantes que no tienen claros los conceptos como el que dice que no tiene caso distinguir entre totales y parciales. Por eso les pido que primero investiguen y después modifiquen. Otros colaboradores se nota que son especialistas en algún tema, pero al escribir se olvidan que es una enciclopedia y que las entradas deben referirse al uso más general del término, y poner nuevas entradas para el caso en que son especialistas con una breve descripción en la liga que las referiere.

Espero que me tomen en cuenta porque se esta volviendo un caos, me dieron ganas de borrar la entrada y reescribirla, pero hay material que vale la pena y que solamente hay que separarlo.

Ya no recomiendo a mis estudiantes que busquen en la wikipedia porque terminan más confundidos, depuremosla pero informándonos primero.

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Habia un error en el concepto de funcion Impar: -F(-x) Lo correcto es: -f(x) Ya esta solucionado. ____

Opino que las fórmulas son demasiado grandes. Por otra parte, la definición de función no es del todo precisa. No es una relación matemática que cumple eso, sino una correspondencia, la cual es un subconjunto del producto cartesiano de A y B. Si no lo corrijo es porque no puedo hacer ahora mismo fórmulas en LaTeX.

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Yo siempre he estudiado que una relación es un subconjunto del producto cartesiano. Me parece que reación y correspondencia son dos nombres del mismo concepto (que alguien me corrija se me equivoco). Incluyo el nombre relación, tanto en el artículo como en el correspondiente a correspondencia, sin tocar nada más.

Las fórmulas en LaTeX salen así de grandes en la Wikipedia, sobretodo cuando se mete algún símbolo que sea un poco distinto de los ASCII. Es un poco feo, pero al menos nos permite expresarnos con propiedad.

Por otro lado, me parece poco acertado hablar de funciones acotadas, periódicas, monótonas, etc, sin especificar que eso ocurre cuando hay además una estructura (espacio mértico, grupo,orden...) añadida.

Por último, por definición, una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Aunque es evidente que toda sucesión puede transformarse en una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros, entiendo que para un lego en la materia pueden surgirle dudas con respecto al concepto de dominio. Creo que cuando se dice que una sucesión es una función discreta, hay que explicar por qué es así.

--Wewe 20:56 7 oct, 2005 (CEST)

Sí, estoy de acuerdo con que es necesario hacer cambios más de fondo en este artículo. Hay temas más específicos que no deberían aparecer aquí, y otros más generales que no se consideran. Y también es cierto que todo cambio severo será discutido y mirado con desconfianza, puesto que la página es vigilada al parecer por muchísimos usuarios, y es vandalizada por muchos otros.

La única duda que me quedó es que escribiste que función "...No es una relación matemática que cumple eso, sino una correspondencia...", diferenciando entre ambos conceptos, pero después añades "...Me parece que reación y correspondencia son dos nombres del mismo concepto..." Bueno, en qué quedamos jeje

Yo la verdad no entiendo aún la diferencia que hacen, pues el concepto es el mismo a mí parecer, con la salvedad de una distinción meramente sintáctica. Finalmente, con respecto a las funciones totales y parciales, estas están bien definidas, y por tanto la definición de función debe ser más general, permitiendo a las parciales (que por cierto, incluyen a las totales). Adelante. Saludos! Farisori (discusión) 07:14 1 abr 2008 (UTC)

La aplicación vacía.

He borrado eso que ponía en el dominio de que si el dominio de una función era el conjunto vacío, entonces la función no existe. Eso es falso. Si una función tiene por dominio al conjunto vacío, entonces necesariamente su imagen ha de ser el conjunto vacío, y tenemos que esa función es, por tanto, la única que puede tener por dominio al conjunto vacío, es decir $\phi :\varnothing \longrightarrow \varnothing$. Esta aplicación se denomina aplicación vacía.

Este artículo va muy enfocado al análisis real (por ejemplo "función par"), y nada al álgebra, que es donde debería estar. Adolece de varias carencias grandes (subsanadas con parches), como el teorema de descomposición canónica de una aplicación, que se deja entrever por encima, y es, en general, pobre comparado con su versión inglesa (que tira por otros derroteros)... Pero vamos por buen camino :)

Texto de titular

les faltan las definiciones

Distinguir entre aplicación y función

Aplicación (o mapeo, traducción de "map") es el concepto genérico de subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos A y B, donde a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B. En ningún momento se está diciendo que A o B sean conjuntos numéricos, por lo que el concepto de "conjunto de ceros", "de negatividad", "de positividad", funciones cóncavas y convexas, periódicas, acotadas y, en general cualquier concepto de funciones reales tendría que ir separado o distinguido en un artículo aparte. En mi opinión, claro está.

--AlfonsoERomero 12:26 4 ago 2006 (CEST)

He añadido un párrafo sobre aplicación. Por otro lado, la entrada Aplicación matemática está redireccionada a este artículo de función, y la página de desambiguación aplicación también conduce a este artículo para esa palabra. Creo que es correcto: la definición habitual de aplicación es la misma que se da en el artículo para función, y la práctica habitual en español es que los libros de álgebra abstracta usen sobre todo aplicación y los de análisis matemático función, o bien que se reserve predominantemente función para las aplicaciones entre conjuntos de números. Mapeo no es de uso frecuente en español, y en todo caso yo no la relacionaría con aplicación excluyendo su relación con función (ver en:Mapping, que identifica map y mapping con function; de hecho en inglés se usan esas dos palabras y también transformation, pero no application)... Y sigue faltando transformación, pero no creo que sea relevante "marear" con tanta jerga Vivero 16:08 8 nov 2006 (CET)

Aplicación no es lo mismo que función

Estoy de acuerdo con Alfonso y Vivero en que aplicación no es una buena traducción de map, en mi opinión mapeo seria mejor así se usa en México, pero por lo visto en España les suena mal, el diccionario de la Real Academia Española no trae la acepción. En todo caso puede usarse transformación o correspondencia.

El principal problema del término aplicación es que se crea una ambigüedad cuando se refiere a aplicar una función.

Cuando en matemáticas definimos una función con la notación:

$f(x)=x^{2}$

en realidad abreviamos la definición:

$f=\{(x,y)|y=x^{2}\}$

cuando escribimos:

$f\,2$

estamos aplicando la función $f$ a $2$ obteniendo un $4$ al final del cómputo. En este caso los paréntesis son innecesarios $f(2)=f\,2$. Cuando son más argumentos significan que la función se aplica a una tupla.

Opino que debe de escribirse un articulo donde se reemplace el término aplicación por función, mapeo o transformación cuando sea sinónimo de función o si de precisión se trata también puede usarse inyección. También se requiere escribir una página de desambiguación que aclare el uso incorrecto de aplicación para referirse a un mapeo y con las entradas correctas para los significados correctos antes mencionados y otros como sinónimo de programa de computadora.

Función es más abarcativa

Corriganme si me equivoco, pero me parece que se esta reduciendo el tema. Por lo que leo del articulo, parece que el único tipo de función que se detalla es el que es producto de polinomios. Sin embargo es solo una parte de la más abarcativa funcián matemática, por ejemplo ¿que hay de la función trigonométrica o logaritmica? En mis textos escolares encotré un cuadro que las categoriza en: tipo polinomicas y tipo trigonométricas y desde esa categoria se subdividen, por ejemplo polinomicas en lineal y cuadrática. lordpuppet 04:09 29 sep 2006 (CEST)

Función total. Función parcial.

Dada la definición de Función matemática, que sentido tiene la de Función total y Función parcial. Una Función matemática, seria una Función total y una Función parcial no es función. Seria necesario recuperar la definición de Aplicación distinta de la de Función. HiTe 22:18 29 oct 2006 (CET)

Creo que Función total y Función parcial no deberían existir en el contexto de la matemática. Veo buscando en Google que esa distinción se hace en informática, supongo que para los procedimientos de función. Una función total es simplemente una función, una función parcial es sólo una correspondencia, y una aplicación es, formalmente, lo mismo que una función, no puede haber definición distinta (¿cómo se haría eso en inglés, si para ellos no existe, que yo sepa, más que function?)

En la lengua inglesa se usa mapping en un sentido similar a aplicación, en algunos paises son lo mismo en otros son distintas porque map es total. — El comentario anterior sin firmar es obra de 189.140.239.91 (disc. • contribs • bloq).

El ejemplo típico que he visto en algún sitio para justificar la diferencia entre función total y parcial creo que es falaz. Se dice: "el valor absoluto es una función total de R en R, puesto que existe el valor absoluto de cualquier número real. En cambio, el logaritmo natural no es una función total de R en R, dado que no existe en R el logaritmo de los números negativos"... ¡pero es que el logaritmo natural no es una función de R en R! Es una función de R+ (sin el cero) en R. Al definir una función, hay que aportar un dominio válido, que cumpla la condición de existencia. Habría que eliminar esos dos artículos, de total y parcial, si no me equivocoVivero 16:36 8 nov 2006 (CET)

• • Exacto, lo que dice Vivero, es totalmente cierto voto por eliminar esa rancherada (como decimos acá en Méx) pues hace más que confundir a los ya temerosos profanos de la matemática --kid 04:56 11 nov 2006 (CET)

No sobra clasificar en parciales y totales las funciones. Tampoco se deben confundir con Dominio y Codominio que no son lo mismo que dominio de definición y rango

No todas las funciones son totales, no es artificial referirse a las funciones parciales. El ejemplo que menciona Juan Marquez puede parecer muy bobo y una compliación innecesaria, pero el problema general de saber para que valores esta definida una función no es decidible. Simplemente no es posible saber si existe o no un resultado al aplicar a un valor dado una función. Hay funciones que no pueden computarse y lo peor del caso es que no hay manera analizarlas para averiguarlo, a eso se refiere el término indecidible.

El dominio es el conjunto de donde se parte, pero no necesariamente les corresponde un elemento del codominio a todos los objetos del dominio. Así como hay funciones no-suprayectivas, es decir en las que el rango es un subconjuto estricto del codominio. Cuando es posible identificar para que valores esta definida una función, entonces se hace lo que dice Juan Marquez, se re-define el dominio, a ese dominio se le llama de definición.

Estoy de acuerdo con la mayoría. Yo sólo me preocupé de fusionar Función con Aplicación matemática, pasando por alto muchas ambigüedades. Hasta donde yo sabía, a una Función puede restringírsele el dominio (lo que ya está en este momento) para parcializarla y así enfocarse en sub-problemas interesantes.

La única diferencia entre una función y una relación matemática, a mi parecer, es que para estas últimas dado un elemento del dominio, éste puede tener más de una imagen.

Por otra parte, se suelen parcializar las funciones para poder asegurar la existencia de su función inversa.

Propongo la siguiente definición de Función:

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es un caso particular de relación denotada

$f\colon X\to Y\,$

donde cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir,

$(x,y_{1})\in f\land (x,y_{2})\in f\Rightarrow y_{1}=y_{2}.$

Cada relación o correspondencia de un elemento $x\in X$ con un (y sólo un) $y\in Y$ se denota $f(x)=y\,$, en lugar de $(x,y)\in f.$

Si todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, $\forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f,$ entonces decimos que la función es total. Es caso contrario, decimos que es parcial.

--Farisori 17:02 9 nov 2007 (CET)

Dominio, codominio, rango, recorrido, imagen.

Dice el artículo:

El conjunto imagen, también llamado codominio, está formado por los valores que alcanza la función.

Pero unas líneas más abajo dice:

Función sobreyectiva: $f:A\rightarrow B\,$ es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (denominado también conjunto de llegada, codominio o rango). $f:A\rightarrow B\,$ es sobreyectiva $\leftrightarrow \forall y\in B:\exists x\in A:f(x)=y$

Hay una cierta confusión de términos. Voy a hacer cambios para dejar la "jerga" más clara, pero espero que estemos de acuerdo en lo básico:

Conjunto de llegada, Codominio --> es el conjunto B

Rango, Recorrido, Imagen --> es el conjunto f(A)$\subseteq$ B

(Ver por ejemplo: en:Codomain o fr:Codomaine)

Vivero 17:14 8 nov 2006 (CET)

¿Aplicación y función son cosas formalmente distintas?

No estoy de acuerdo con el cambio de definición, que reserva la palabra función exclusivamente para aplicaciones entre conjuntos de números reales y naturales. No he visto nunca, ni en español, ni en inglés ni en francés tan tajante distinción entre aplicación y función, si bien es cierto que en español hay "cierta costumbre" de preferir función a aplicación cuando el contexto es numérico. Pero ni mucho menos general ni formalizada, aunque los libros de álgebra suelan usar "aplicación" (no todos: los traducidos del inglés suelen dejar "función") y los de cálculo "función". Todos los artículos sobre función matemática de las wikipedias con cuya lengua "me atrevo" (la inglesa, la francesa, la italiana, la portuguesa, la catalana, la gallega) coinciden en la sinonimia de función y aplicación. En inglés no existe un equivalente a la palabra "aplicación" (map-mapping no lo es; es otro sinónimo de función) y en francés es significativo que el artículo sobre application esté redirigido al de fonction.

De todos modos, si optamos por esa definición, este artículo debe cambiar bastante, porque mucho de lo que dice ahora se refiere a aplicaciones, en general, no sólo a funciones de variable real o compleja. Habría que trasladar al artículo de aplicación todo lo de álgebra, y dejar en este artículo sólo lo de cálculo (si tal distinción es sensata, que no lo sé)

Si mantenemos esa definición restringida de función, y dejamos los dos artículos aplicación matemática y función (matemática), entonces el de aplicación deberá remitir, en interwiki, al artículo inglés de function y al francés de fonction, y al italiano de funzione, ... porque en ninguna de estas lenguas encuentro artículo independiente (que no sea redirección a función) sobre aplicación. Y nuestro artículo sobre funciones deberá remitir también a los de function-fonction-funzione-... tendremos que defender que el español es la única lengua que distingue tajantemente entre aplicación (cualquier correspondencia aplicativa y unívoca) y función (las de números reales o complejos). Lo mismo me equivoco, pero no me cuadra...

Seguro que el autor del cambio de definición me abre los ojos y me da a conocer las fuentes en las que se basa. Pero entretanto, soy partidario de volver a cambiar la definición, para ser como ingleses, franceses, italianos, etc. y de fusionar los artículos de aplicación matemática y de función (matemática). ¿Me sacáis de mi error, por favor? Vivero 03:03 15 nov 2006 (CET)

Suscribo la opinión de Vivero. Entiendo, como él, que existe cierta preferencia en España, de utilizar la palabra aplicación para referirse al caso de conjuntos cualesquiera y reservar la palabra función para las aplicaciones entre los conjuntos numéricos. Pero también es cierto que he visto numerosos textos académicos hispanoamericanos que utilizan función en su sentido general. De hecho, estaba editando anoche el artículo para hacer constar esta preferencia, pero respetando la orientación inicial, y organizar un poco las propiedades y definiciones referidas a funciones numéricas cuando mi edición se cruzó con la de HiTe, que iba en sentido totalmente contrario. Creo que, para evitar más vaivenes en la edición, sería conveniente discutir la orientación del artículo. --Fenicio 19:07 15 nov 2006 (CET)

Amigos podriamos aumentar la babilonia que se va armando, diciendo que hay otras palabras en uso para designar casi lo mismo: mapeo, mapa, transformación, map, mapping (aunque no le guste a los anglófobos) y hasta flecha, ¿como la ven? ¿riqueza cultural? ¿cultura global? ¿jerga mundial? --kid 04:50 16 nov 2006 (CET)

Función ?

Hay que diferenciar conceptos matemáticos y palabras, un mismo concepto matemático puede tener distintas palabras para llamarlo, y distintos autores pueden emplear la misma palabra con distintos significados, un caso es emplear un termino mas general para referirse a un concepto mas especifico, confundiendo una parte con el todo, (o dando lugar a esta confusión), vamos a diferenciar conceptos, señalando los distintos términos con los que se denominan o se han podido denominar, pero sin dar lugar a confusiones, esto al fin y al cabo son matemáticas. Veamos:

Relación matemática

$\mathbb {A} \longrightarrow \mathbb {B}$

Correspondencia matemática

$\mathbb {A} \longrightarrow \mathbb {B}$

Relación binaria

$\mathbb {A} \longrightarrow \mathbb {A}$

Aplicación matemática

$\mathbb {A} \longrightarrow \mathbb {B}$

Operación matemática

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z}$

Sucesión matemática

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z}$

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Q}$

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R}$

Función matemática

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Que conceptos son generales, cuales son casos específicos y que sinónimos existen para cada caso. HiTe 17:21 16 nov 2006 (CET)

Acabo de contestar a este argumento de HiTe en su página de discusión. En esencia, HiTe tiene razón cuando recomienda clasificar con precisión, a ser posible biunívoca, los conceptos. Al fin y al cabo esto son matemáticas, y deberíamos aspirar a acercarnos lo más posible a la precisión. De acuerdo. Pero también es cierto que esto es Wikipedia, que no es una fuente primaria. Puedo estar de acuerdo en que la cadena Relación-Correspondencia-Relación Binaria-... etc. que propone Hite sea la más precisa (ni siquiera entro en el tema: no es el fondo del problema), pero si difiere de lo que dicen los libros de matemática "normales" que uno encuentra en las bibliotecas o las librerías, no vale, porque esto no es una fuente primaria.

En el caso de la definición de función = "aplicación matemática de los números reales, o en el caso del cálculo complejo, de los números complejos", creo que la discrepancia con las definiciones habituales de las fuentes externas es grande. Tras consultar muchas (en la página de discusión de Hite detallo algunas), estoy convencido de que la mayoría, y las más autorizadas, consideran función y aplicación como sinónimos, aclarando posteriormente que por tradición, costumbre, tendencia o conveniencia pedagógica, se suele usar sólo "función", y no "aplicación" en los casos en que dominio y codominio son numéricos, no necesariamente reales o complejos, aunque sí he encontrado alguna definición que lo limita a $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, como acaba de hacer Hite más arriba, lo que me hace preguntarme por qué demonios siempre se dice "funciones reales de variable real", si todas tienen que serlo, por definición de función. Wikipedia tiene que informar de lo que las fuentes externas dicen, sin inventar nada nuevo, y las fuentes externas dicen en general que aplicación y función son sinónimos, con determinadas preferencias subjetivas de uso.

Y nuestras hermanas en otras lenguas así lo hacen. En inglés function es el artículo principal del concepto, que no se "divide" en dos familias, una general y otra numérica (¡ni mucho menos real+compleja!). El mismo artículo ya detalla el contexto de uso de términos "often synonimous" como map y transformation. En francés, fr:application (mathématique) está redireccionado a fonction, y el artículo deja muy claro que ambas palabras son sinónimos. En Italiano funzione es el concepto central, y "applicazione", "operatore", "mappa", "relazione binaria univoca", "trasformazione" se citan como sinónimos. En alemán (si he conseguido descifrar lo que sale del Foxlingo ;-)) la Funktion también es toda correspondencia unívoca en la que todos los elementos del origen tienen imagen, sin restricción a dominio o codominio numérico (ni mucho menos real). Tampoco está restringida a números la Função portuguesa, ni la Funció catalana... ¿Todas esas palabras, que se parecen tanto a "función", son "falsos amigos", cuidado traductor, porque en español función sólo se refiere a las de variable real o compleja?... No tiene sentido. Una vez más, pecaríamos de ser "fuente primaria" en las definiciones: como la nuestra es mejor, ¡que cambien todos los demás!

Mi propuesta, por ser positivo: creo que se debe revertir la definición de función de este artículo a la que coincide con casi todas las fuentes externas y con las definiciones de la palabra equivalente en otras wikipedias. Y seguidamente, creo que se deben fusionar los artículos de aplicación matemática y de función (matemática), para tener un solo artículo para cada concepto (es el mismo concepto). Pienso que el artículo fusionado debería llamarse función (matemática), y que aplicación matemática debe redirigirse a función, como hacen los franceses. El nuevo artículo debe abarcar todos los aspectos de las funciones, tanto de teoría de conjuntos como de cálculo, e igual que ocurre en otras wikipedias debe tener las dos categorías... ¿Podríamos llegar a un acuerdo parecido a ese? Ruego vuestras opinionesVivero 01:37 17 nov 2006 (CET)

¡Estoy totalmente de acuerdo con la propuesta de Vivero. En mi biblioteca personal encuentra estas dos referencias:

La correspondencia f de A en B se llama aplicación cuando a cada elemento de A le corresponde en B un subconjunto unitario

E. Tebar Flores, Problemas de Álgebra lineal(1977)color

Muchos bachilleres tienen todavía hoy esta misma idea del concepto de función [como exclusivamente numérica]. Mediante el concepto de conjunto se puede dar una definición de "función" mucho más general [entre dos conjuntos cualesquiera]

Herbert Meschkowski, Introducción a la Matemática Moderna, Ed. Seleccciones Científicas (1967), página 32color

Estos textos no son de nivel académico, pero creo que ambas referencias apoyan claramente que ambos términos se utilizan a veces sí y a veces no para el mismo concepto, según los autores. La opción que puede clarificar mejor la cuestión es tenerlo todo en un artículo único, como propone Vivero. Personalmente, yo prefiero utilizar aplicación para el caso más general y reservar función para las aplicaciones numéricas y otros usos especiales, pero soy consciente de que esta preferencia personal es debida simplemente a que los textos que yo he utilizado en Matemáticas tienen esta orientación --Fenicio 02:00 18 nov 2006 (CET)

¿1967, 1977? si no son de nivel académico ¿que?...--kid 04:40 18 nov 2006 (CET)

• El texto de H.Meschowski es para la enseñanza secundaria y el de Tebar Flores, si bien es de nivel universitario, no es más que un libro de problemas orientado a los cursos de matemática de nivel medio para carreras técnicas (ingenierías, química, etcétera) y no para una licenciatura en Matemáticas. Por lo que he leido en tu página, kid, tú eres profesor universitario e investigador en Topología. Me entenderas, entonces, si te digo que mis dos citas no tienen el nivel académico de los "Elementos de Matemáticas" de Bourbaki. En cuanto a las fechas, no creo que el hecho de que sean un poco antiguos sea un problema teniendo en cuenta que estamos hablando de los fundamentos más elementales de la Teoría de Conjuntos. Las citas trataban de apoyar la propuesta de Vivero de unificar los dos artículos (aplicación y función) y explicar en él los diferentes usos que diferentes autores dan a los términos función y aplicación ¡Por cierto! Si se cambia este artículo, habrá que hacer correcciones en el artículo de Teoría de Conjuntos.--Fenicio 09:43 18 nov 2006 (CET)

Referencias sobre la definición de función

Discutir sobre algo tan evidente es bastante triste, así que prometo que esta es mi última intervención. Eso si, si se decide fusionar función y aplicación, ayudaré todo lo que pueda, que bastante he incomodado con este tema. Y ahora, por favor, decidme si no es evidente:

1. “Función: sinónimo de aplicación”; “una aplicación $X\to \mathbb {R}$, para cualquier conjunto X, se llama “función numérica”; una función cuyo codominio sea un conjunto de proposiciones lógicas se llama "función proposicional”. Diccionario de Matemática Moderna, Darío Maravall Casesnoves, Madrid 1994, ed. RA-MA, ISBN 84-7897-146-7 .
2. “Aplicación y función son sinónimos; sólo el uso o razones pedagógicas hacen emplear en ciertos casos una palabra en vez de la otra”; “Función: sinónimo de aplicación. A veces se hacen matices de orden pedagógico entre los dos términos...” Diccionario Akal de Matemáticas, A. Bouvier y M. George, Madrid 2005 (el original francés es de 1979) de. Akal ISBN 84-460-1254-5
3. “En matemáticas también hay un concepto que significa transformación o cambio. Es el concepto de aplicación o función"; “Por tradición, se denomina funciones a las aplicaciones entre conjuntos numéricos como $\mathbb {N} ,\mathbb {Q}$ o $\mathbb {R}$...” Manual de Matemáticas Básicas, de V. Hernández, E. Ramos, R. Vélez y I. Yáñez, Madrid 1992, UNED, ISBN 84-362-2303-9
4. Definición de aplicación exactamente igual a la de función, salvo que la de aplicación dice "[...]elemento de un conjunto depende de[...]" y la de función dice "[...]variable depende de[...]" Diccionario de Matemáticas (Nivel Bachillerato), Santiago Valiente Barderas. México 1988, ed. Alhambra mexicana, ISBN 968-444-068-5
5. una aplicación es una correspondencia unívoca y aplicativa (entendiendo por aplicativa que todos los elementos del dominio tienen imagen); "una variable es función de otra cuando entre ambas se puede establecer una correspondencia unívoca"; "En teoría de conjuntos, función es toda aplicación que relaciona conjuntos numéricos" Diccionario de términos matemáticos, Pedro García Pérez, Valladolid 2004, ed. ZMC, ISBN 84-932310-8-8.
6. "Se llama aplicación (función) a toda relación que[...]"Atlas de matemáticas, Fritz Reinhardt y Heinrich Soeder, Madrid 1984, Alianza Editorial, ISBN 84-206-6203-8
7. "Una aplicación (o función) f de S en T, donde S y T son conjuntos es [...]"; "por lo tanto [una función] es lo mismo que una aplicación"; el término función "tiende a usarse" cuando dominio y codominio son el conjunto de los números reales, o subconjuntos de números reales... Diccionario Oxford de Matemáticas, C. Clapham, Madrid 1992, Celeste Ediciones, ISBN 84-87553-21-4.
8. "Una aplicación f (llamada a veces función, aunque ese nombre suele reservarse para las aplicaciones cuyos valores son números)..."Diccionario de Matemáticas, colección "Diccionarios Oxford-Complutense" C. Clapham, Madrid 1998, ISBN 84-89784-56-6 Nota: es otra traducción del diccionario de Clapham
9. "Todo conjunto f={(x,y)} de pares ordenados tal que [...] se denomina función o aplicación"Enciclopedia de las Matemáticas MIR-Rubiños, dirigida por I.M. Vinogradov, Ávila 1993, ISBN 84-8041-020-5 y 021-3
10. "La noción de función, ya conocida del lector, no difiere en principio del concepto de aplicación. Aquella se refiere al caso de ser E y F conjuntos de números" Álgebra Moderna, A. Lentin y J. Rivaud Madrid 1982 (la tercera reimpresión) Aguilar S.A. de ediciones, ISBN 84-03-20169-9
11. No usa la palabra aplicación (en inglés no se usa, y el traductor no ha intervenido) y define función en términos totalmente generales (hablando de "objetos", y de "conjuntos", no de números, pese a que lo hace en el contexto del análisis matemático. ¿Qué es la matemática?, Richard Courant y Herbert Robbins, Madrid 1979 (segunda reimpresión de la quinta edición; el original inglés es de 1941), Aguilar S.A. de ediciones, ISBN 84-03-20032-3 capítulo 6, "funciones y límites", apartado 1, "variable y función"
12. Tras dar la definición de función como subconjunto de AxB, y pese a que no ha hablado de números, dedica un párrafo a enfatizar que los objetos x y f(x) de los pares ordenados (x, f(x)) de una función "no tienen por qué ser números, sino que pueden ser objetos de cualquier clase" Calculus (Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal). Tom M. Apostol, Segunda Edición, Barcelona 1973, Editorial Reverté S.A., ISBN 84-291-5002-1
13. En la definición 2.5 del capítulo 2 ("Algunas nociones básicas de teoría de conjuntos") se define función, sin absolutamente ninguna referencia a números. Luego se definen las funciones "de una variable real"... "de una variable compleja"... "de dos variables", etc. Análisis Matemático, Tom M. Apostol. Segunda edición, Barcelona 1996, ISBN 84-291-5004-8
14. Un artículo introductorio sobre función de la OMA, Olimpiada matemática argentina. Pone el ejemplo de "asignar a cada atleta su nombre" como una función, para dejar claro que las funciones no son necesariamente cosa de números.
15. Cálculo de predicados Un artículo de la Universidad de Valladolid sobre lógica. Define el concepto de función en un contexto que evidentemente no es numérico. Obsérvese que la definición es la misma de aplicación, exactamente.
16. Temario de Álgebra Superior I de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Ejercicio: leer los apartados del tema II, "Relaciones y Funciones", y deducir si al hablar de función se están refiriendo a aplicaciones entre números reales o complejos (o entre conjuntos no numerables, si apetece). ¿Verdad que no?
17. fisicanet.com, un portal de física argentino En este artículo dedicado a discentes y docentes de física se define función en un contexto evidentemente de cálculo, después de hablar de sucesiones y antes de empezar a hablar de funciones reales de variable real. Obsérvese que se define función de forma general, en términos de conjuntos... igual que aplicación.
18. "rincón del vago", España. Son apuntes de estudiantes deseosos de ayudarse unos a otros... ¿cómo definen función?
19. Así define "function" el Wolfram Mathworld. ¿Dónde están los números reales o complejos, o los conjuntos contínuos?
20. Function en Wikipedia "A function is a binary relation, f, with the property that for an element x there is no more than one element y such that x is related to y. This uniquely determined element y is denoted by f(x)". No hay restricción a números.
21. Fonction en Wikipedia On peut voir une fonction comme une « transformation » de certains objets en d'autres objets. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment des nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des points en points (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en nombres (par exemple la longueur d’un segment, l’aire délimitée par un polygone...). Por cierto: conviene analizar la diferencia aplicación/función en francés... De todos modos, ¿Qué dice el artículo application? Pues está redirigido a Función.
22. Funzione en Wikipedia Dati gli insieme $X$ e $Y$, si chiama funzione da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X\times Y$ tale che per ogni $x\in X\;$, esiste uno ed un solo elemento $y\in Y\;$ tale che $(x,y)\in f$. Tale elemento tradizionalmente si denota con $f(x)$: in altre parole, invece di scrivere $(x,y)\in f$ possiamo usare la scrittura tradizionale $\,y=f(x)\;$. ¿Alguien descubre que los "insieme" de las "funzione" tengan que ser numéricos? . Y ahora busquemos applicazione. Llegaremos a una página de desambiguación que nos dirige: "Nota disambigua - Se stai cercando il termine “applicazione” in riferimento alla matematica, vedi l’articolo “funzione”."
23. Função en Wikipedia No copio la definición, que me estoy poniendo pesado. Eso sí: ¿Adonde nos lleva la entrada aplicação? A una página de desambiguación que dice: "Aplicação, na matemática, é uma função".
24. Ver las definiciones de aplicación y de función, en sus acepciones matemáticas, en el DRAE... y encuentre las diferencias, como en los pasatiempos (aunque en la definición de función hay algo muy raro, pero que no tiene que ver con esta discusión)

De verdad: ¿Vale la pena seguir discutiendo si debe definirse función como "aplicación matemática de los números reales, o en el caso de calculo complejo de los números complejos"?... o retorcer la discusión un poco más para ver si debe definirse como "una Correspondencia matemática de un Conjunto continuo sobre otro Conjunto continuo". Por favor: Wikipedia no es una fuente primaria y en las fuentes externas es evidente el "factor común" de que aplicación y función son sinónimos, aunque informalmente, por tradición, por costumbre... en español suele usarse función cuando se habla de números (pero también de proposiciones, o de vectores, o de...). Por mi parte, fin de la discusión, lo prometo. Vivero 03:52 19 nov 2006 (CET)

Me prodigáis decir si la raíz de un numero en una función y en los textos como figura:

$y={\sqrt {x}}$

Fsd 11:09 19 nov 2006 (CET)

A ver si lo entiendo: aparte del juego de palabras ("prodigáis decir" por "podríais decir"), que me ha gustado y te plagiaré, está lo de "si la raíz de un numero EN una función", y también cierta incertidumbre en "y en los textos como figura". Interpretaré la pregunta como "¿Me podríais decir si la raíz de un número es una función, y cómo figura en los textos?".

La respuesta es no. La raíz de un número (del 4, del 9, del 2 o del 3+i) no es una función. Yo diría que es un conjunto de números, que puede ser el conjunto vacío. Por ejemplo, si estamos operando con números racionales, la raíz cuadrada de 4 es el conjunto {-2,2}, y la raíz cuadrada de 2 es el conjunto vacío.

Pero supongamos que preguntas: ¿Es la raíz cuadrada una función? ¿cómo figura en los textos?

Faltan datos. Si te refieres, por ejemplo, a la función $r$, de dominio $\mathbb {R} ^{+}$ y codominio $\mathbb {R} ^{+}$ que asigna a cada $x\in \mathbb {R} ^{+}$ el número real positivo $y\in \mathbb {R} ^{+}$ definido por $y={\sqrt {x}}$, es decir, el número $y$ que cumple las condiciones de ser real positivo y de que $y^{2}=x$, entonces la función existe, porque puede demostrarse que para todo $x\in \mathbb {R} ^{+}$ existe un, y sólo un, $y\in \mathbb {R} ^{+}$ que cumple las condiciones citadas, con lo cual el conjunto $r=\left\{(x,r(x))|x\in \mathbb {R} ^{+}\right\}$, que no otra cosa es la función r, se aplica a todos los $x\in \mathbb {R} ^{+}$ y para cada x tiene por elemento un solo par (x, r(x)). Si te refieres a otros dominios y codominios, en algunos podremos definir una función análoga a la descrita, y en otros no.

Lo que de verdad intuyo que contesta a la pregunta que insinúas es esto: para definir una función hay que definir su dominio, su codominio, y un subconjunto del producto cartesiano de ambos. De hecho, muchos defienden que la forma adecuada de definir una correspondencia es dar ese triplete, (A,B,G), donde A es un conjunto cualquiera al que llamamos dominio, B es otro (puede ser, en su caso, el mismo) al que llamamos codominio, y G es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Algunas de las correspondencias así definidas son funciones, y otras no. Yo diría que la frase "la función raíz cuadrada" nos permite construir infinitas correspondencias de ese tipo que le hacen justicia, siendo algunas de ellas funciones, y otras no.

Creo que los libros lo explican más o menos así, aunque mucho mejor que yo, que soy sólo un aficionado. Si lo hacen de otra manera, casi seguro que el equivocado soy yo. Y espero que tu pregunta persiga alguna mejora del artículo, porque nos van a recordar que esto no es un chat ni un foro. Espero haberte ayudado en algo, o al menos divertido algo ;-)Vivero 18:25 19 nov 2006 (CET)

Vivero: efectivamente la pregunta quería aportar algo a la discusión, y quitar un poco de hierro al asunto, estaba hecha con un poco de picardía porque hay libros que la mencionan como función, no expresamente, pero si de hecho, realmente, la raíz de x, de un numero real, quería decir, no tiene sentido para x negativa, para x=0 vale 0 y para x positiva tiene dos soluciones, si:

$x=y^{2}\,$

$y={\sqrt {x}}$

el detalle esta en

$x=(+y)^{2}=(-y)^{2}\,$

es una parábola simétrica respecto el eje y, y su inversa:

$y={\sqrt {x}}$

es una parábola simétrica respecto al eje x, para cada valor de x hay dos soluciones y, -y

$y=+{\sqrt {x}}$

$y=-{\sqrt {x}}$

Esto también pasa en la circunferencia por ejemplo, una recta vertical x= a, o no corta la circunferencia o la corta en dos puntos al ser una curva cerrada, hay autores que la consideran dos funciones una la parte superior y otra la inferior, en la parte de calculo a cualquier cosa: y= f(x), es le llama función, en teoría de conjuntos y en álgebra son más formales en este asunto.

Quizá, abría que diferenciar dos definiciones para función, una equivalente a aplicación, en teoría de conjuntos y álgebra, y otra en calculo donde y = f(x), y es función de x, es una función no necesariamente aplicación, los autores no clarifican esto, y en ocasiones dan lugar a mas confusión, las traducciones de otros idiomas en ocasiones emplean términos según el significado en el idioma original, cuando en español ya tiene un significado distinto, también hay mucho chapucero, y quien hace de su capa un sallo y que cada uno se las componga como pueda.

De todas formas creo que llegaremos a una buena solución, con un poco de tiempo. :-)

Fsd 19:52 19 nov 2006 (CET)

Seguro que sí llegaremos, Fsd. Contamos con grandes ventajas respecto a los que debaten temas políticos, por poner un ejemplo. Esto es un poco menos personal. Yo sólo quiero que función matemática, en la Wikipedia española, quiera decir lo mismo que todos los palabros que suenan más o menos igual en otras wikipedias. Reconozco que es un capricho pueril, disparatado, pero tenéis que reconocer que no os cuesta nada concedérmelo. Luego empezaré la campaña para asegurarme de que nuestra palabra antibiótico también significa lo mismo que antibiotic, antibiotique, antibiòtic, antibiotikum, antibiotico (el italiano), antibiótico (el portugués), e incluso Антибиотики. Ya sé que es divertido y refuerza nuestra identidad el que nuestra palabra signifique otra cosa, pero me parece un poco incómodo ;-) Vivero 22:02 19 nov 2006 (CET)

Propuesta de definición

Propongo la siguiente definición:

En Matemáticas, se denomina función o aplicación del conjunto A en el conjunto B, a la asociación de un único elemento del conjunto B a todos y cada uno de los elementos de A.

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

$f\colon A\to B\,$

si, y sólo si, f es un subconjunto del producto cartesiano $A\times B$ que verifica:

1. $\forall a\in A\quad {\rm {{\exists b}\in B\mid (a,b)\in f}}$

1. Si$(a,b_{1})\in f\land (a,b_{2})\in f\Rightarrow b_{1}=b_{2}$

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un y sólo un elemento b de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota

$f(a)=b\,$

En algunos textos de Matemáticas se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

Le faltarían algunos ejemplos y sustituiría a la introducción actual (antes del primer apartado) ¿De acuerdo? --Fenicio 23:55 20 nov 2006 (CET)

Sí, Fenicio por mi parte de acuerdo. Sólo me "rechina" la primera línea "a la asociación de un único elemento del conjunto B a todos y cada uno de los elementos de A. Es así, pero un lector rápido podría pensar que un único elemento de B se asigna a todos los elementos de A, y el resto de los elementos de B se quedan sin asignar a nadie...

¿Te gusta... "asocia a cada uno de los elementos de A uno y solo un elemento de B"? (además, la he copiado del wikcionario... ¡todo queda en familia!). De todos modos, es lo mismo que dices tú unas líneas después (dicho sea de paso: siempre tengo la duda del uso de "un y sólo un", de "uno y sólo uno" y de "uno y sólo un")

HiTe y yo hemos llegado a un acuerdo en nuestras páginas de discusión. Me falta el consenso de los wikimatemáticos. Se trataría de fusionar aplicación matemática con función (matemática) en un solo artículo, que podría llamarse función (matemática). La definición inicial sería muy parecida a la que tú propones, quizá poniéndola "en prosa", "coloquial" y "con ejemplos" en la introducción (antes del índice) y luego rigurosa, con sus $\forall \exists \land \lor$ en el cuerpo del artículo, no nos vaya a pasar lo que a uno de los inventores de los simbolitos esos (Giuseppe Peano, no sé si lo sabes: se le rebelaron sus alumnos, y lo echaron de clase, después de algunos meses de $\forall \exists \land \lor$ cotidiano ;-). Pondríamos en el artículo un apartado específico sobre el problema semántico aplicación-función y procuraríamos ser lo más explícitos, ordenados y rigurosos posibles con la jerga, que en eso creo que HiTe tiene razón.

En cuanto pueda os propongo un artículo fusionado... si no me lo propone antes alguien a mi Vivero 01:52 21 nov 2006 (CET)

Propuesta modificada

Incorporando los cambios propuestos, quedaría

Propongo la siguiente definición:

En Matemáticas, una función o aplicación del conjunto A en el conjunto B asocia a cada uno de los elementos de A un elemento, y solo uno, de B.

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

$f\colon A\to B\,$

si, y sólo si, f es un subconjunto del producto cartesiano $A\times B$ que verifica:

1. $\forall a\in A\quad {\rm {{\exists b}\in B\mid (a,b)\in f}}$

1. Si$(a,b_{1})\in f\land (a,b_{2})\in f\Rightarrow b_{1}=b_{2}$

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota

$f(a)=b\,$

En algunos textos de Matemáticas se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

A mi tampoco me acaba de sonar bien "uno y sólo uno" ni "un y sólo ún", así que he optado por "un elemento, y sólo uno" que (creo) no se presta a dudas. ¿Valdría esta? (Aparte de incluir más ejemplos y más explicaciones para hacerla más fácil de "digerir", cosa que se puede ir haciendo con posteriores ediciones con la colaboración de todos, quiero decir, con espíritu "Wikipédico"). Faltaría incluir algunas referencias externas, pero con las que se han aportado en la página de discusión es más que suficiente --Fenicio 19:49 21 nov 2006 (CET)

A mi me parece perfecto, y creo que deberíamos incorporarla en el artículo, sin más.

Ahora que estoy preocupándome por estas formalidades, cada vez me gusta más la definición de correspondencia-relación-aplicación que dice que «es un triplete $f=(A,B,G)\,$ en el que $A$ y $B$ son conjuntos, y $G$ un subconjunto de $A\times B$». En el caso de la aplicación, a esto hay que añadir las condiciones habituales, de que f sea aplicativa o total (como bien dices, $\forall a\in A\quad {\rm {{\exists b}\in B\mid (a,b)\in G}}$) y unívoca ($(a,b_{1})\in G\land (a,b_{2})\in G\Rightarrow b_{1}=b_{2}$). Me gusta, porque deja clarísimo que no se puede hablar de una función (ni de una correspondencia) si no se explicita su dominio y su codominio, y porque diferencia entre "función" y el "elemento" de la función denominado grafo ($G$), en tanto que si se define directamente $f$ como un subconjunto de $A\times B$ se confunden función y grafo.

Pero casi ningún texto define así función: la norma es la definición que has dado tú, así que creo que la tuya es la que debe ponerse, dejando en todo caso para una aclaración posterior la del triplete. Estoy un poco despistado con tanta navegación por las funciones y relaciones de las wikis, pero creo que alguna lo hace así, dando como definición inicial la que tú dices, y aclarando que "algunos" prefieren la definición $f=(A,B,G)$

Por mi, adelante con el cambio. Vivero 15:32 22 nov 2006 (CET)

Como no ha habido más comentarios, ¡cambio! Podemos incluir lo del triplete en una edición posterior --Fenicio 22:22 24 nov 2006 (CET)

momento, lo que propones vale, pero no para hacer las cosas digeribles para los ajenos al método matemáico, así que hay que tener cuidado donde pones la propuesta, que para decirte la verdad es la primera vez que veo esto (lo de la tripleta) aunque no es muy sofisticado... saludos--kid 00:07 27 nov 2006 (CET)

Yo también descubrí recientemente lo de la tripleta o 3-tupla. Lo cuentan en la wiki inglesa, en un apartado del artículo de función titulado Is a function more than its graph?, en la francesa cuando definen application en Notion d’application. Los alemanes también aluden a la definición del "Tripel", pero a estos no les entiendo nada Creo haberlo visto en algún otro sitio (no es de extrañar, porque efectivamente no es nada sofisticado) asociado a la teoría de las categorías (pero eso ya supera mi nivel de aficionado). Saludos a Guadalajara (Jal.) y a Tenerife Vivero 02:53 27 nov 2006 (CET)

Graficador

Acabo de usar la liga y graficador recién añadido y está recomendable--kid 20:25 18 ene 2007 (CET)

Cuales son los fines y los valores de la Matemàtica