Distancia relativa entre dos campos escalares

Inspirado en el error relativo entre dos cantidades, el operador $\Delta _{D}$, relaciona dos campos escalares no negativos, que han de ser integrables en el sentido de Riemann​ en un conjunto $D$ que se supone abierto conexo. El operador $\Delta _{D}$ permite evaluar el comportamiento de una aproximación analítica frente a una solución numérica que sean soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. La principal ventaja de utilizar $\Delta _{D}$ en lugar de otras distancias dadas en la literatura es que el valor dado por $\Delta _{D}$ tiene una interpretación sencilla: un valor cercano a 0 significa relativamente cerca, pero un valor cercano a 1 significa muy lejano.​

Definición: Sea $S(D)$ el conjunto de los campos escalares no negativos, integrables en ${\mbox{D}}\subseteq {\mbox{R}}^{n}$, siendo $D$ un conjunto abierto conexo. Si $f,g\in S(D)$ se define

$\Delta _{D}(f,g)={\begin{cases}{\frac {\int _{D}\vert f{\vec {(}}x)-g{\vec {(}}x)\vert dV}{\int _{D}\vert f{\vec {(}}x)+g{\vec {(}}x)\vert dV}}&{\mbox{si f o g}}\neq 0\\0{\mbox{ si f=g=0}}\end{cases}}$ siendo ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n}){\text{ y }}dV=dx_{1}\cdot dx_{2}\cdot ...\cdot dx_{n}$ (1).

De la definición se deduce que

$\forall f\in S(D),f\neq 0\longrightarrow \Delta _{D}(f,0)=1$ y

$\forall f\in S(D),f\neq 0\longrightarrow \Delta _{D}(f,f)=0$

A partir de la definición se pueden demostrar los siguientes teoremas

Teorema 1

$\forall f,g\in S(D)$ se cumple que $0\leqslant \Delta _{D}(f,g)\leqslant 1$

Teorema 2

$S(D)$ con la distancia $\Delta _{D}(f,g)$ definida anteriormente en (1), es un Espacio métrico, es decir cumple las siguientes propiedades

2. $\Delta _{D}(f,g)\geq 0,\forall f,g\in S(D)$
4. $\Delta _{D}(f,g)=0,\forall f,g\in S(D)\longleftrightarrow f=g{\text{ en }}D$
6. $\Delta _{D}(f,g)=\Delta _{D}(g,f),\forall f,g\in S(D)$
8. $\Delta _{D}(f,g)\leqslant \Delta _{D}(f,h)+\Delta _{D}(g,h),\forall f,g,h\in S(D)$

Aplicación a la aproximación para una EDO

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria dependiente de un parámetro $\epsilon$, $F\left(\epsilon ,x_{1},x_{2},,...,x_{n},y,{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}},....,{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},....{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},...\right)=0$ (1)

sujeta a las siguientes condiciones de contorno $y({\vec {x}}_{s})=y_{s},{\vec {x}}_{s}\in {\mbox{D}}$ Para cada valor de $\epsilon$ podemos calcular una solución numérica, que dependerá de ${\vec {x}}$ y de $\epsilon$ y que vamos a llamar $y_{num}=y_{num}({\vec {x}},\epsilon )$.

Si la ecuación diferencial es regular, podemos obtener $y_{num}$ con cualquier precisión deseada. Por otra parte consideremos el desarrollo en serie de Taylor, de F, sobre el parámetro $\epsilon$ en torno al punto $\epsilon _{0}$: $F_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{k}}}|_{\epsilon =\epsilon _{0}}{\frac {(\epsilon -\epsilon _{0})^{k}}{k!}}$

Sustituyendo $F{\text{ por }}F_{n}$ en (1), se obtiene una ecuación diferencial ordinaria $F_{n}\left(\epsilon ,x_{1},x_{2},,...,x_{n},y,{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}},....,{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},....{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},...\right)=0$ (2)

que debe ser similar a la original (1) para el parámetro $\epsilon$ cercano a $\epsilon _{0}$ Considerando las mismas condiciones de contorno, a veces, para ciertos órdenes de aproximación n en el desarrollo de Taylor, podemos resolver (2) exactamente $y_{n}=y_{n}({\vec {x}},\epsilon )$

La pregunta que surge es qué tan buena es el aproximación analítica $y_{n}$ con respecto a la $y_{num}$ solución numérica, en $D$, para un valor dado de $\epsilon$. Para este propósito, se puede utilizar la distancia definida en (1) de la siguiente manera

$\Delta _{n}(\epsilon )=\Delta _{D}(y_{num},y_{n})$

en donde hemos supuesto que $y_{num}{\text{ y }}y_{n}$ son campos escalares no negativos, con el fin de poder aplicar (1). Nótese también que ahora podemos dibujar $\Delta _{n}(\epsilon )$ para valores de $\epsilon$ cercanos a $\epsilon _{0}$ y evaluar la bondad de la aproximación analítica n-ésima $y_{n}$ con respecto a la solución $y_{num}$

Referencias

• Datos: Q21572924