Esfera de Berger

En geometría riemanniana, una esfera de Berger, llamada así por Marcel Berger, es una 3-esfera estándar con una métrica riemanniana procedente de una familia uniparamétrica, que puede obtenerse a partir de la métrica estándar reduciéndola a lo largo de las fibras de una fibración de Hopf. Es interesante por ser uno de los ejemplos más sencillos de colapso de Gromov.​

De forma más precisa, se considera en primer lugar el álgebra de Lie con generadores $x_{1},x_{2},x_{3}$ y con el corchete de Lie $[x_{i},x_{j}]=-2\epsilon _{ijk}x_{k}$. Esto se corresponde con el grupo de Lie simplemente conexo $\mathbb {S} ^{3}$. Tomando ahora el producto $\mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {R}$, extendiendo el corchete de Lie de forma que el generador $x_{4}$ sea invariante a izquierda por la operación del grupo de Lie y tomando el cociente por $\alpha x_{1}+\beta x_{4}$, donde $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$, obtenemos finalmente las esferas de Berger $B(\beta )$.​

Existen también análogos en dimensión superior del concepto de esfera de Berger.

Referencias

• Datos: Q4447641