Función distancia con signo

Función distancia con signo.

En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otorgándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

$f(x)={\begin{cases}d(x,S)&{\mbox{ si }}x\in A\\0&{\mbox{ si }}x\in S\\-d(x,S)&{\mbox{ si }}x\in B\end{cases}}$

donde

$d(x,S)=\inf _{y\in S}d(x,y)$ es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

• Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los $\mathbb {R} ^{n}$ y con S con suficientes propiedades.
• Si la superficie es completa, es decir, $S=cl(S)$ donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
• La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Función distancia con signo para superficies

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo $b_{S}(x)$ tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a $cl(S)$ y tomará valores negativos dentro de S.

$b_{S}(x)={\begin{cases}d_{S}(x)&{\mbox{ si }}x\in S^{+}\\0&{\mbox{ si }}x\in cl(S)\\-d_{S}(x)&{\mbox{ si }}x\in S^{-}\end{cases}}$

Donde $S^{+}$ es el espacio fuera de la superficie y $S^{-}$ el espacio encerrado por la superficie.

• Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de $b_{S}(x)$. Sabemos que la elección de un vector normal $N(p)$ en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general $b_{S}(x)$ puede tomarse como la distancia entre x y un único punto $p_{x}\in cl(S)$, y como $x-p_{x}$ es paralelo a $N(p)$ la función tomara un valor positivo si $x-p_{x}$ tiene el mismo sentido que $N(p)$ y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto

• Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de $cl(S)$. Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos $\epsilon (S)$. Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

$\epsilon (S)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\;/\;b_{S}(x)=s\|x-p_{x}\|=s\|x-p_{y}\|,\;s=\pm 1\;y\;p_{x}\neq p_{y}\right\}$

Propiedades

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea $p_{x}\in cl(S)$ tal que $b_{S}(x)=\pm \|x-p_{x}\|$ entonces $x-p_{x}$ es normal a S en $p_{x}$.

Demostración:

Sea A la esfera de centro x y radio $\|x-p_{x}\|$. Supongamos que $x-p_{x}$ no es normal a S en $p_{x}$, entonces A no es tangente a S en $p_{x}$, entonces existirá en un entorno de $p_{x}$ un $p_{y}\in S$ dentro A, entonces $\|x-p_{y}\|<\|x-p_{x}\|$, lo cual es falso.

2. $b_{S}(x)$ es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, $\|b_{S}(x)-b_{S}(y)\|\leq \|x-y\|$.

Demostración:

Si $x\;e\;y\in S^{+}$ entonces $\|x-p_{x}\|\leq \|x-p_{y}\|\leq \|x-y\|+\|y-p_{y}\|$, entonces $\|x-p_{x}\|-\|y-p_{y}\|\leq \|x-y\|$. Si $x\in S^{+}$ e $y\in S^{-}$, entonces $\exists z={\overline {xy}}\cap S$ tal que $\|x-p_{x}\|\leq \|x-z\|$ y $\|y-p_{y}\|\leq \|y-z\|$, entonces $\|x-p_{x}\|+\|y-p_{y}\|\leq \|x-y\|$.

3. $b_{S}(x)$ es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:

El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n}$ y $f(x)$ es Lipschitz continua, entonces $f(x)$ es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. $b_{S}(x)$ es diferenciable en x si y solo si $x\notin \epsilon (S)$ y en ese caso existirá un único $p_{x}$ tal que $b_{S}(x)=\pm \|x-p_{x}\|$ y $\nabla b_{S}(x)={\frac {x-p_{x}}{b_{S}(x)}}$.

5. $\|\nabla b_{S}(x)\|=1$, es solución de la ecuación de la eikonal.

6. $\forall x\in S,N(x)=\nabla b_{S}(x)$, es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de $b_{S}(x)$ en x.

Demostración:

$S\subset cl(S)=\left\{x\;/\;b_{S}(x)=0\right\}$, entonces $N(x)={\frac {\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}}={\frac {\nabla b_{S}(x)}{1}}=\nabla b_{S}(x)$

7. $H(x)=\Delta b_{S}(x)$ La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:

$H(x)=\nabla {\frac {\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}}=\nabla {\frac {\nabla b_{S}(x)}{1}}=\nabla \nabla b_{S}(x)=\nabla ^{2}b_{S}(x)=\Delta b_{S}(x)$

Ejemplos

• Distancia a un plano

Para un plano $\Pi \equiv A.x+B.y+C.z+D=0$ cuyo vector normal es $(A,B,C)$

$b_{\Pi }(x,y,z)={\frac {A.x+B.y+C.z+D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$.

• Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro $(a,b,c)$ y radio r

$b_{S}(x,y,z)={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}-r$

• distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

$b_{S}(x,y,z)={\sqrt {({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R)^{2}+z^{2}}}-r$

Referencias

• Michel C. Delfour,J. P. Zolésio. Shapes and geometries: analysis, differential calculus, and optimization. 

Enlaces externos

• [1].

• Datos: Q7512907