Integración por series

En cálculo de primitivas la integración por series es un método empleado para encontrar un desarrollo en serie de la función primitiva de una función dada. Se trata de representar la función a integrar como una serie convergente y luego integrar término por término.

En ocasiones, el método es interesante, ya que permite obtener identidades matemáticas interesantes a pesar de que la función primitiva se pueda calcular utilizando las técnicas habituales.

En el caso de las integrales no elementales, es una herramienta valiosa. Esto es debido a que la integración por series, si es factible, permite obtener una definición de la función primitiva y una forma de calcularla.

Definición

Si la función $f(x)$ puede ser desarrollada en serie:

$f(x)=\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{C_{i}x^{i}}$

Y la serie es uniformemente convergente, entonces la función $F(x)$ primitiva de $f(x)$ es desarrollable en serie. Así pues, su desarrollo en serie es:

$F(x)=\int {f(x)=}\int {\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{C_{i}x^{i}}}=\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{\int {C_{i}x^{i}}=}\left(\sum \limits _{i=0}^{i=\infty }{{\frac {C_{i}}{i+1}}x^{i+1}}\right)+C$

Con $C$ siendo una constante de integración.

Aplicación al cálculo de integrales no elementales

Una integral no elemental es una integral para la cual se puede demostrar que no existe fórmula alguna en términos de funciones elementales (es decir, polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y productos y composiciones de estas funciones).

En otras palabras, no se pueden resolver utilizando las técnicas estándar de integración.

Este es el caso de las cuatro integrales que fueron estudiadas por el matemático francés Joseph Liouville: la integral logaritmo le(z), la integral seno si(x), la integral cosinus ci(x), y la función error.

Función integral logaritmo

$li\left(z\right)=\int {{\frac {dz}{\log \left(z\right)}}=\int {\frac {e^{x}}{x}}}dx=\log x+x+{\frac {x^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{3}}{3!3}}+{\frac {x^{4}}{4!4}}+\ldots$

Función integral seno

$si(x)=\int {\frac {\sin(x)}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!3}}+{\frac {x^{5}}{5!5}}-{\frac {x^{7}}{7!7}}+\ldots$

Función integral coseno

$ci(x)=\int {\frac {\cos(x)}{x}}dx=\log x-{\frac {x^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{4}}{4!4}}-{\frac {x^{6}}{6!6}}+\ldots$

Función error

La función error sacado de un factor constante.

$\int {e^{-x^{2}}}dx=x-{\frac {x^{3}}{1!3}}+{\frac {x^{5}}{2!5}}-{\frac {x^{7}}{3!7}}+\ldots$

Véase también

• Funciones elementales
• Integral no elemental
• Algoritmo de Risch

Referencias

• Enciclopedia Espada. Artículo sobre integración. Capítulo I integrales indefinidas. Apartado 6 Integración por series.

• Datos: Q11926758