Número primo delicado

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Un número primo delicado, primo digitalmente delicado o primo débil es un número primo donde, bajo una base dada (pero generalmente en numeración decimal), si se reemplaza cualquiera de sus dígitos con cualquier otro dígito, siempre da como resultado un número compuesto.[1]​

Definición[editar]

Un número primo se denomina número primo digitalmente delicado cuando, bajo una base dada (aunque generalmente en base 10), la sustitución de cualquiera de sus dígitos por cualquier otro dígito siempre da como resultado un número compuesto.[1]​ Un número débilmente primo en base b con n dígitos debe producir números compuestos después de que cada dígito se cambie individualmente a cualquier otro dígito. Hay infinitos números primos débiles en cualquier base. Además, para cualquier base fija existe una proporción positiva de tales números primos.[2]​

Historia[editar]

En 1978, Murray S. Klamkin planteó la cuestión de si existían estos números. Paul Erdős demostró que existe un número infinito de primos delicados bajo cualquier base.[1]​

En 2007, Jens Kruse Andersen encontró el primo débil de 1000 dígitos.[3]​ Este es el mayor número primo débil conocido a 2011.

Terence Tao demostró en un artículo de 2011 que los primos delicados existen en una proporción positiva para todas las bases.[4]​ Proporción positiva aquí significa que a medida que los primos se hacen más grandes, la distancia entre los primos delicados será bastante similar, por lo que no escasearán entre los números primos.[1]​

Primos digitalmente delicados[editar]

En 2021, Michael Filaseta de la Universidad de Carolina del Sur trató de encontrar un número primo delicado tal que cuando se agrega una cantidad infinita de ceros iniciales al número primo y se cambia cualquiera de sus dígitos, incluidos los ceros iniciales, se convierte en compuesto. Llamó a estos números ampliamente digitalmente delicados.[5]​ Filaseta, con uno de sus estudiantes, demostró en el artículo que existe un número infinito de estos números, aunque no pudieron producir ni un solo ejemplo, habiendo buscado entre 1 y 1 billón. También demostraron que una proporción positiva de números primos son digitalmente delicados.[1]​

Jon Grantham dio un ejemplo explícito de un primo ampliamente digitalmente delicado.[6]​

Ejemplos[editar]

El número en base b primo delicado más pequeño para las bases 2 a 10 es:[7]​

Base En la base Decimal
2 11111112 127
3 23 2
4 113114 373
5 3135 83
6 3341556 28151
7 4367 223
8 141038 6211
9 37389 2789
10 29400110 294001

En numeración decimal, los primeros números primos débiles son:

294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599, 1282529, 1524181, 2017963, 2474431, 2690201, 3085553, 3326489, 4393139 (sucesión A050249 en OEIS)

Para el primero de ellos, cada uno de los 54 números 094001, 194001, 394001, ..., 294009 son compuestos.

Referencias[editar]

  1. ↑ a b c d e Nadis, Steve (30 de marzo de 2021). «Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes». Quanta Magazine. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2021. Consultado el 1 de abril de 2021. 
  2. ↑ Terence Tao (2011). «A remark on primality testing and decimal expansions». Journal of the Australian Mathematical Society 91 (3): 405-413. S2CID 16931059. arXiv:0802.3361. doi:10.1017/S1446788712000043. 
  3. ↑ Carlos Rivera. «Puzzle 17 – Weakly Primes». The Prime Puzzles & Problems Connection. Consultado el 18 de febrero de 2011. 
  4. ↑ Tao, Terence (2010-04-18). «A remark on primality testing and decimal expansions». arXiv:0802.3361  [math.NT]. 
  5. ↑ Filaseta, Michael; Juillerat, Jacob (2021-01-21). «Consecutive primes which are widely digitally delicate». arXiv:2101.08898  [math.NT]. 
  6. ↑ Grantham, Jon (2021). «Finding a Widely Digitally Delicate Prime». arXiv:2109.03923  [math.NT]. 
  7. ↑ Les Reid. «Solution to Problem #12». Missouri State University's Problem Corner. Consultado el 18 de febrero de 2011. 
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