Punto estacionario

Un punto estacionario​ de una función de una variable real:

${\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}$

es un número $a\in \mathbb {R}$ donde la derivada de $f$ es cero.​​​ Si la función $f$ es derivable y tiene un extremo local en un punto, ese punto estará entre sus puntos estacionarios.

Igualmente, un punto estacionario de una función $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ de varias variables reales, es un punto $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ donde se anulan simultáneamente todas sus derivadas parciales.​​ Si la función $f$ es diferenciable, los puntos donde tiene un extremo están entre los puntos estacionarios de la función.

Ejemplos

Función continua y derivable en a

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

$\lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0$

Función creciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Para x < a es Función cóncava.

Para x > a es Función cóncava.

Para x = a: máximo relativo.

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Función continua y derivable en a

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

$\lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0$

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Para x < a es Función cóncava.

Para x > a es Función convexa.

Para x = a: Punto de inflexión.

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Función continua y derivable en a

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

$\lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0$

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Para x < a es Función convexa.

Para x > a es Función cóncava.

Para x = a: Punto de inflexión.

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Función continua y derivable en a

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

$\lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0$

Función decreciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Para x < a es Función convexa.

Para x > a es Función convexa.

Para x = a: mínimo relativo.

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Véase también

Punto crítico

Punto frontererizo

Punto singular

Punto de inflexión

• Extremos de una función
• Singularidad matemática
• Clasificación de discontinuidades
• Criterio de la primera derivada
• Criterio de la segunda derivada
• Criterio de la tercera derivada
• Criterio de la derivada de mayor orden
• Punto de silla

Enlaces externos

Introducción a los métodos matemáticos de optimización

CLASIFICACIÓN DE LOS PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN

EXTREMOS Y PUNTOS SILLA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Universidad Nacional de La Plata

Máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado. UPV.

Extremos relativos de funciones de 2 variables. Universidad Politécnica de Catalunya

Análisis Matemático II. María Inés Parnisari

Bibliografía

1. Saturnino L. Salas; Einar Hille; Garret J. Etgen (2003). Calculus 2 (4 edición). Editorial Reverte. ISBN 978-842-915-158-9. 
2. Edwin Joseph Purcell; Steven E. Rigdon; Dale E. Varberg (2007). CALCULO (9 edición). Pearson Educación. ISBN 978-970-260-919-3. 
3. Francisco Javier Ortiz Cerecedo; Francisco José Ortiz Campos; Fernando José Ortiz Cerecedo (2015). Cálculo Diferencial (1 edición). Grupo Editorial Patria. ISBN 978-607-744-239-4. 

Referencias

• Datos: Q2500758