Usuario:Azofra32/Taller

En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas. Puede ser lineal tanto una ecuación diferencial ordinaria (una sola variable independiente), como una ecuación en derivadas parciales (dos o más variables independientes). Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.

Definición

Una ecuación diferencial lineal tiene forma de:

$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0,$

con $F$ lineal respecto a la función incógnita $y$ y sus derivadas $y',...,y^{(n)}$. Escrito de otra forma, se puede expresar como:

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+...+a_{n}(x)y^{(n)}=b(x),$

donde los coeficientes $a_{0}(x),...,a_{n}(x)$ y $b(x)$ son funciones diferenciales arbitrarias no necesariamente lineales, y $y',...,y^{(n)}$ son las derivadas de la función incógnita $y$ en la variable $x$. El orden de la ecuación diferencial viene dado por el mayor entero no negativo $k\leq n$ tal que la función $a_{k}(x)$ no sea idénticamente nula. Si $b(x)\equiv 0$, entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea y en caso contrario no homogénea.

Introducción

Un operador lineal diferencial es un isomorfismo que actúa sobre funciones diferenciables como combinación lineal de sus derivadas. Utilizando la misma notación que anteriormente, se define como una función $L:C^{n}([a,b])\longrightarrow C([a,b])$, con $[a,b]\subset \mathbb {R}$ tal que

$L[y]=a_{0}y+a_{1}y'+...+a_{n}y^{(n)},$

o bien

$L[y]=\sum _{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)},$

donde $a_{0},...,a_{n}\in {C([a,b])}$ y $y',...,y^{(n)}$ son las derivadas sucesivas de $y$.

Se llama lineal debido a que verifica que, para todo $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}L[\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n}]&=a_{n}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})^{(n)}+...+a_{1}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})'+a_{0}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})\\&=(a_{n}\lambda _{1}y_{1}^{(n)}+...+a_{n}\lambda _{n}y_{n}^{(n)})+...+(a_{1}\lambda _{1}y_{1}'+...+a_{1}\lambda _{n}y_{n}')+(a_{0}\lambda _{1}y_{1}+...+a_{0}\lambda _{n}y_{n})\\&=\lambda _{1}(a_{0}y_{1}+a_{1}y_{1}'+...+a_{n}y_{1}^{(n)})+...+\lambda _{n}(a_{0}y_{n}+a_{1}y_{n}'...+a_{n}y_{n}^{(n)})\\&=\lambda _{1}L[y_{1}]+...+\lambda _{n}L[y_{n}].\end{aligned}}$

Ecuación lineal de primer orden

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

${\begin{cases}y'(x)+f(x)y(x)=g(x)\\y(x_{0})=y_{0},\end{cases}}$

donde $g$ y $f$ son funciones continuas en un intervalo abierto $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$, y el valor inicial es $y(x_{0})=y_{0}$.

La solución de esta ecuación viene dada por:

$y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}\left[y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}ds\right].$

Referencias

Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.

Blanchard,P., Devaney, R.L., \& Hall, G.R. (2012). Differential equations. Cengage Learning.