Usuario:FragJana/Taller

En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas. Puede ser lineal tanto una ecuación diferencial ordinaria (una sola variable independiente), como una ecuación en derivadas parciales (dos o más variables independientes). Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.

Definición

Una ecuación diferencial lineal tiene forma de:

$F(x,y,y',...,y^{(n)})=0,$

con $F$ lineal respecto a la función incógnita $y$ y sus derivadas $y',...,y^{(n)}$. Escrito de otra forma, se puede expresar como:

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+...+a_{n}(x)y^{(n)}=b(x),$

donde los coeficientes $a_{0}(x),...,a_{n}(x)$ y $b(x)$ son funciones diferenciales arbitrarias no necesariamente lineales, y $y',...,y^{(n)}$ son las derivadas de la función incógnita $y$ en la variable $x$. El orden de la ecuación diferencial viene dado por el mayor entero no negativo $k\leq n$ tal que la función $a_{k}(x)$ no sea idénticamente nula. Si $b(x)\equiv 0$, entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea y en caso contrario no homogénea.

Introducción

Un operador lineal diferencial L se define como una aplicación que actúa sobre funciones diferenciables tal que $L:C^{n}([a,b])\longrightarrow C([a,b])$, con $[a,b]\subset \mathbb {R}$, siendo

$L[y]=a_{0}y+a_{1}y'+...+a_{n}y^{(n)},$

o bien

$L[y]=\sum _{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)},$

donde $a_{0},...,a_{n}\in {C([a,b])}$ y $y',...,y^{(n)}$ son las derivadas sucesivas de $y$.

Se llama lineal debido a que verifica que, para todo $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}L[\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n}]&=a_{n}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})^{(n)}+...+a_{1}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})'+a_{0}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})\\&=(a_{n}\lambda _{1}y_{1}^{(n)}+...+a_{n}\lambda _{n}y_{n}^{(n)})+...+(a_{1}\lambda _{1}y_{1}'+...+a_{1}\lambda _{n}y_{n}')+(a_{0}\lambda _{1}y_{1}+...+a_{0}\lambda _{n}y_{n})\\&=\lambda _{1}(a_{0}y_{1}+a_{1}y_{1}'+...+a_{n}y_{1}^{(n)})+...+\lambda _{n}(a_{0}y_{n}+a_{1}y_{n}'...+a_{n}y_{n}^{(n)})\\&=\lambda _{1}L[y_{1}]+...+\lambda _{n}L[y_{n}].\end{aligned}}$

Ecuación lineal de primer orden

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

$y'(x)+f(x)y(x)=g(x),$

donde $g$ y $f$ son funciones continuas en un intervalo cerrado $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$.

La solución de esta ecuación con dato inicial $y(x_{0})=y_{0}$ viene dada por:

$y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}\left[y(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x}g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}ds\right].$

Referencias

Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.

Blanchard,P., Devaney, R.L., Hall, G.R. (2012). Differential equations. Cengage Learning.