Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas, un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se dice que es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y equilibrado (algunos utilizan el término circular en lugar de equilibrado), en cuyo caso se llama disco. La envoltura de disco o enovoltura absolutamente convexa de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición[editar]

Un subconjunto $S$ de un espacio vectorial (real o complejo) $X$ se denomina disco y se dice que es absolutamente convexo y equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

$S$ es convexo y equilibrado.
para cualesquiera escalares $a$ y $b,$ si $|a|+|b|\leq 1$ entonces $aS+bS\subseteq S.$
para todos los escalares $a,b,$ y $c,$ si $|a|+|b|\leq |c|,$ entonces $aS+bS\subseteq cS.$
para cualquier escalar $a_{1},\ldots ,a_{n}$ si $\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq 1$ entonces $a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.$
para cualquier escalar $c,a_{1},\ldots ,a_{n}$ si $\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|\leq |c|$ entonces $a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.$

El menor subconjunto convexo (resp. equilibrado) de $X$ que contiene a un conjunto se denomina envoltura convexa de dicho conjunto y se denota por $\operatorname {co} S$ (resp. $\operatorname {bal} S$ ).

Del mismo modo, se define que una envolutra de disco, o envolutra absolutamente convexa, de un conjunto $S$ es el disco más pequeño (con respecto al inclusión de conjuntos) que contiene a $S.$ ^[1] La envoltura de disco de $S$ se denotará por $\operatorname {disco} S$ o $\operatorname {cobal} S$ y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: $\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ que es la envoltura convexa del envoltura equilibrada de $S$ ; así, $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$

- En general, $\operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita.
la intersección de todos los discos que contienen $S.$
$\left\{\sum _{i=1}^{n}s_{i}x_{i}~:~n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in S,\,\sum _{i=1}^{n}\left|s_{i}\right|\leq 1\right\}$ , donde los $s_{i}$ son elementos del cuerpo subyacente.

Condiciones suficientes[editar]

La intersección de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos es de nuevo absolutamente convexa; sin embargo, la unión de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos no necesitan ser ya absolutamente convexos.

Si $D$ es un disco en $X,$ entonces $D$ es absorbente en $X$ si y sólo si $\operatorname {span} D=X.$ {sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=67-113}}

Propiedades[editar]

Véase también: Espacio vectorial topológico

Si $S$ es un disco absorbente en un espacio vectorial $X$ entonces existe un disco absorbente $E$ en $X$ tal que $E+E\subseteq S.$ ^[2].

Si $D$ es un disco y $r$ y $s$ son escalares entonces $sD=|s|D$ y $(rD)\cap (sD)=(\min _{}\|r|,|s|\})D.$

La envoltura absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo es de nuevo acotada.

Si $D$ es un disco acotado en un EVT $X$ y si $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ es una sucesión en $D,$ entonces las sumas parciales $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{infty}$ son sucesiones de Cauchy, donde para todo $n,$ $s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.$ ^[3]. En particular, si además $D$ es un subconjunto secuencialmente completo de $X,$ entonces esta serie $s_{\bullet }$ converge en $X$ a algún punto de $D.$

La envoltura convexa y equilibrada de $S$ contiene tanto a la envoltura convexa de $S$ como a la envoltura equilibrada de $S$ Además, contiene la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de $S;$ así

\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),

donde el ejemplo siguiente muestra que esta inclusión puede ser estricta.

Sin embargo, para cualesquiera subconjuntos $S,T\subseteq X,$ si $S\subseteq T$ entonces $\operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T$ , lo que implica que $\operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} \operatorname {bal} S).$

Ejemplos[editar]

Aunque $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ la envoltura convexo equilibrado de $S$ es ‘’no’’ necesariamente igual a la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de $S.$ {sfn|Trèves|2006|p=68}.

Para un ejemplo en el que $\operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ sea $X$ el espacio vectorial real $R^{2}$ y sea $S:=\{(-1,1),(1,1)\}.$ . Entonces $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es un subconjunto estricto de $\operatorname {cobal} S$ que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que la envoltura equilibrado de un conjunto convexo es ‘’no’’ necesariamente convexo.

El conjunto $\operatorname {cobal} S$ es igual al cuadrado cerrado y lleno en $X$ con vértices $(-1,1),(1,1),(-1,-1),$ y $(1,-1)$ (esto es porque el conjunto equilibrado $\operatorname {cobal} S$ debe contener tanto a $S$ como a $S=\{(-1,-1),(1,-1)\},$ donde ya que $\operatorname {cobal} S$ también es convexo, debe contener en consecuencia el cuadrado sólido $\operatorname {co} ((-S)\cup S),$ que para este ejemplo particular resulta ser también equilibrado de modo que $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)$ ). Sin embargo, $\operatorname {co} (S)$ es igual al segmento de recta cerrada horizontal entre los dos puntos de $S$ de modo que $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es, en cambio, un subconjunto cerrado con forma de "reloj de arena" que corta el eje $x$ exactamente en el origen y es la unión de dos triángulo isósceles cerrados y llenos: uno cuyos vértices son el origen junto con $S$ y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con $-S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.$ Este "reloj de arena" relleno no convexo $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ es un subconjunto propio del cuadrado relleno $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$