Conjuntos prevalentes y cautos

En matemáticas, las nociones de prevalente y cauto​ son conceptos similares a "casi en todas partes" y "medida cero", que se adaptan bien al estudio de los espacios de dimensión infinita y que hacen uso de la invariancia a la traslación de la medida de Lebesgue en espacios reales de dimensión finita. El término "cauto" (originalmente shy en inglés) fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor.​

Definiciones

Prevalencia y cautela

Sea $V$ un espacio vectorial topológico real y sea $S$ un subconjunto de $V$ con medida de Borel. Se dice que $S$ es prevalente si existe un subespacio de dimensión finita $P$ de $V,$ llamado conjunto sonda, tal que para todo $v\in V$ se tiene que $v+p\in S$ para casi todo $\lambda _{P}$ $p\in P,$ donde $\lambda _{P}$ denota la medida de Lebesgue dimensional $\dim(P)$ en $P.$ Dicho de otra manera, para cada $v\in V$ de Lebesgue: casi todos los puntos del hiperplano $v+P$ se encuentran en $S.$

Se dice que un subconjunto que no es de Borel de $V$ es prevalente, si contiene un subconjunto de Borel prevalente.

Se dice que un subconjunto de Borel de $V$ es cauto si su complemento es prevalente; se dice que un subconjunto de $V$ que no es de Borel es cauto si está contenido dentro de un subconjunto de Borel cauto.

Una definición alternativa, y un poco más general, es definir un conjunto $S$ como cauto si existe una medida transversal para $S$ (que no sea una medida trivial).

Prevalencia local y cautela

Se dice que un subconjunto $S$ de $V$ es localmente cauto si cada punto $v\in V$ tiene un entorno $N_{v}$ cuya intersección con $S$ es un conjunto cauto. Se dice que $S$ es localmente prevalente si su complemento es localmente cauto.

Teoremas sobre prevalencia y cautela

• Si $S$ es cauto, también lo es cada subconjunto de $S$ y cada traslación de $S.$
• Todo conjunto cauto de Borel $S$ admite una medida transversal que es finita y tiene soporte compacto. Además, esta medida se puede elegir de modo que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño.
• Cualquier conjunto numerable finito o unión de conjuntos cautos también es cauto. De manera análoga, prevalece la intersección contable de conjuntos prevalentes.
• Cualquier conjunto cauto también lo es localmente. Si $V$ es un espacio separable, entonces cada subconjunto localmente cauto de $V$ también lo es.
• Un subconjunto $S$ de un espacio euclídeo $n$-dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ es cauto si y solo si tiene medida de Lebesgue cero.
• Cualquier subconjunto prevalente $S$ de $V$ es denso en $V.$
• Si $V$ es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de $V$ es cauto.

En lo sucesivo, se entiende por "casi todos" que la propiedad indicada se cumple en un subconjunto predominante del espacio en cuestión.

• Casi todas las funciones continuas desde el intervalo $[0,1]$ hasta la recta real $\mathbb {R}$ son funciones diferenciables; aquí el espacio $V$ es $C([0,1];\mathbb {R} )$ con la topología inducida por la norma del supremo.
• Casi todas las funciones $f$ en un espacio $L^{p}$ $L^{1}([0,1];\mathbb {R} )$ tienen la propiedad de que

$\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.$ Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de funciones $k$-veces diferenciables $C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).$

• Para $1<p\leq +\infty ,$ casi todas las secuencias $a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}$ tienen la propiedad de que la serie

$\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

diverge.

• Versión de prevalencia del teorema de embebido de Whitney: Sea $M$ una variedad compacta de clase $C^{1}$ y dimensión $d$, contenida en $\mathbb {R} ^{n}.$ Para $1\leq k\leq +\infty ,$, casi todas las funciones de $C^{k}$, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d+1}$ es un encaje de $M.$
• Si $A$ es un subconjunto compacto de $\mathbb {R} ^{n}$ con dimensión de Hausdorff-Besicovitch $d,$ $m\geq ,$ y $1\leq k\leq +\infty ,$ entonces, para casi todas las funciones $C^{k}$, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ $f(A)$ también tiene dimensión de Hausdorff $d.$
• Para $1\leq k\leq +\infty ,$ casi todas las funciones $C^{k}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es válido para todos los puntos del período $p$, para cualquier número entero $p.$

Bibliografía

• Hunt, Brian R. (1994). «The prevalence of continuous nowhere differentiable functions». Proc. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 122 (3): 711-717. JSTOR 2160745. doi:10.2307/2160745. 
• Hunt, Brian R. and Sauer, Tim and Yorke, James A. (1992). «Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinite-dimensional spaces». Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (2): 217-238. S2CID 17534021. arXiv:math/9210220. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2. 

• Datos: Q17146673