Coordenadas ortogonales
Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.
Definición[editar]
Dada una variedad de (pseudo)riemanniana , un conjunto abierto del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto , una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:
Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:
El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:
Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.
Propiedades[editar]
La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:
Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.
Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales[editar]
Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilmente en términos de estas componentes del tensor métrico.
- El gradiente viene dado por:
- La divergencia viene dada por:
- El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:
- El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:
Ejemplos en el espacio euclídeo[editar]
En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:
- Coordenadas cartesianas
- Coordenadas polares
- Coordenadas esféricas
- Coordenadas cilíndricas
- Coordenadas cilíndricas elípticas
- Coordenadas cilíndricas parabólicas
- Coordenadas paraboidales
- Coordenadas esferoidales alargadas
- Coordenadas esferoidales achatadas
- Coordenadas bipolares
- Coordenadas toridales
Ejemplos en variedades diferenciales[editar]
La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.
En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.[cita requerida]