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vector
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
con los ángulos de dirección
α
1
{\displaystyle \alpha _{1}}
,
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}}
,
α
3
{\displaystyle \alpha _{3}}
.
En cálculo vectorial , los cosenos directores de un vector en el espacio euclídeo
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
son los valores del coseno de sus ángulos de dirección , es decir, el ángulo entre el vector y los tres vectores de base canónica
e
→
1
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}}
,
e
→
2
{\displaystyle {\vec {e}}_{2}}
,
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e}}_{3}}
.[ 1]
Propiedades [ editar ]
Para el vector
v
→
=
(
v
1
v
2
v
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}}
, los cosenos de dirección son
cos
α
1
=
v
→
⋅
e
→
1
|
v
→
|
|
e
→
1
|
=
v
1
|
v
→
|
=
v
1
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
{\displaystyle \cos \alpha _{1}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{1}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{1}|}}={\frac {v_{1}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{1}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}
,
cos
α
2
=
v
→
⋅
e
→
2
|
v
→
|
|
e
→
2
|
=
v
2
|
v
→
|
=
v
2
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
{\displaystyle \cos \alpha _{2}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{2}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{2}|}}={\frac {v_{2}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{2}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}
,
cos
α
3
=
v
→
⋅
e
→
3
|
v
→
|
|
e
→
3
|
=
v
3
|
v
→
|
=
v
3
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
{\displaystyle \cos \alpha _{3}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{3}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{3}|}}={\frac {v_{3}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{3}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}
,
tal y como se puede ver en los triángulos de colores de la figura adyacente. El vector
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
puede expresarse por su magnitud y la dirección de los cosenos,
v
→
=
|
v
→
|
(
cos
α
1
cos
α
2
cos
α
3
)
{\displaystyle {\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}}
.
Cuando se divide por
|
v
→
|
{\displaystyle |{\vec {v}}|}
, se puede ver que los cosenos de dirección son precisamente las componentes del vector unitario
e
→
v
{\displaystyle {\vec {e}}_{v}}
en la dirección de
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
,
e
→
v
=
v
→
|
v
→
|
=
(
cos
α
1
cos
α
2
cos
α
3
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{v}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}}
.
Puesto que
|
e
→
v
|
=
1
{\displaystyle |{\vec {e}}_{v}|=1}
, se tiene que
cos
2
α
1
+
cos
2
α
2
+
cos
2
α
3
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}+\cos ^{2}\alpha _{3}=1}
.
Dado que los ángulos de dirección están limitados al rango entre
0
{\displaystyle 0}
y
π
{\displaystyle \pi }
y el coseno es reversible en este intervalo, los tres ángulos de dirección se dan también con los cosenos de dirección.
Referencias [ editar ]
↑ Weisstein, Eric W . «Cosenos directores» . En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés) . Wolfram Research .