Hemisferios de Magdeburgo

Grabado de Gaspar Schott del experimento de Otto von Guericke de los hemisferios de Magdeburgo.

Los hemisferios de Magdeburgo originales y la bomba de vacío de Guericke en el Deutsches Museum, Munich, Alemania.

Los hemisferios de Magdeburgo son un par de grandes hemisferios de cobre que se ajustan con un anillo de acoplamiento formando una esfera y que se utilizan para demostrar el poder de la presión atmosférica. La demostración consiste en intentar separar ambos hemisferios por tiros de caballos cuando los bordes se sellaron con grasa y se extrajo el aire de su interior mediante una máquina neumática o bomba, creando un vacío. Los hemisferios de Magdeburgo fueron diseñados en 1656 por el científico alemán y burgomaestre de Magdeburgo,​ Otto von Guericke, para mostrar la bomba de vacío que había inventado y el concepto de la presión atmosférica. El primer vacío artificial había sido producido unos años antes por Evangelista Torricelli y había inspirado a Guericke para diseñar la primera bomba de vacío del mundo, que consistía en un cilindro y pistón con válvulas de mariposa de un solo sentido. Los hemisferios se hicieron populares en las clases de física como ilustración del poder de presión de aire y todavía se utilizan en ámbitos educativos. Un par de los hemisferios originales se conservan en el Deutsches Museum de Munich.

Aspecto

El artefacto consta de dos medias esferas de cobre de 50 cm de diámetro y unos 65 litros de capacidad. Soldado en una de ellas hay un conducto con una válvula que puede abrirse y cerrarse a voluntad creadas y diseñadas por Von Guericke. En el polo de cada hemisferio hay una argolla para poder sujetarlo.

Historia y utilidad

El experimento consistía en tratar de separar dos hemisferios metálicos, de unos 50 cm de diámetro, unidos entre sí por simple contacto, formando una esfera herméticamente cerrada, de la que se extraía el aire con una bomba de vacío, por cierto, inventada por el propio Von Guericke. Para facilitar el cierre hermético de las semiesferas metálicas o hemisferios se disponía de un aro de cuero que se colocaba entre las superficies que se tocaban. Cada hemisferio disponía de varias argollas para pasar cuerdas o cadenas por ellas y así poder tirar hacia los lados opuestos.

Los espectadores quedaron totalmente impresionados al comprobar que diferentes grupos de hombres tirando con todas sus fuerzas hacia ambos lados no conseguían separar los hemisferios. Tampoco pudieron inicialmente separarlos 16 caballos, en dos grupos de 8 a cada lado. Solo después de un tiempo haciendo un gran esfuerzo lograron su objetivo provocando un estruendo enorme. Los hemisferios que formaban la esfera, que tanto esfuerzo costó abrir, se separaban sin ninguna dificultad con solo dejar entrar de nuevo aire en su interior.

En el experimento realizado en el 2005 en Granada con 16 caballos no se pudieron llegar a separar los hemisferios. Hay que tener en cuenta que el vacío conseguido con la bomba de Von Guericke del siglo XVII era menor que el que hoy en día se consigue con nuestras modernas bombas de vacío.

El burgomaestre realizó en Ratisbona, ante el público que se reunió y el propio emperador, una demostración más circense que científica, al dotar al experimento de un cuadro propio de la época, muy espectacular, para ganar fama a la vez que intentaba dotarlo de realismo y credibilidad (en aquellos tiempos, para no ser tildado de farsante se requería la presencia e intervención de personajes ilustres).

Sirve en la práctica como experimento en física para las demostraciones de la presión atmosférica, y toda universidad que se precie de serlo tiene un pequeño modelo en el que ensayan sus alumnos.

En los hemisferios solo actúa la presión atmosférica, ya que al extraer el aire no hay presión en el interior. Por el contrario, el aire atmosférico ejerce presión sobre los hemisferios y, si la superficie de los mismos sobre la que actúa la presión es suficientemente grande, se necesita una fuerza bastante considerable para separarlos.

Aspecto técnico

Cabe destacar que el formato esférico es el ideal estructuralmente para soportar la diferencia de presiones, pero mientras soporte esta diferencia, cualquier formato que asegure la estanqueidad es viable.

Los dos partes, juntas, son comparables a un cuerpo hueco con el interior al vacío (en la práctica con fracción de la presión atmosférica) y sumergido en un fluido (aire), que somete al conjunto a una compresión uniforme. La diferencia de presión entre el interior y el exterior del dispositivo crea una fuerza que los mantiene unidos. Por supuesto, sólo los componentes normales (perpendiculares) al plano de contacto entre los dos hemisferios actúan para mantenerlos unidos. La resistencia a la separación, está determinada por la diferencia de presiones y el área del plano de contacto delimitado por los puntos de contacto.

De manera sencilla, responde a la fórmula general $F=\Delta p\ S$, donde $F$ es la fuerza, $\Delta p$ es la diferencia de presiones (presión exterior menos presión interior) y $S$ el área normal. Para un dispositivo de 25 cm de radio -similar al utilizado por Von Guericke- considerando una presión externa de 1 atmósfera (101 325 Pa) y una presión interna de 0,2 atmósferas, tenemos:

$F=(p_{2}-p_{1})\pi R^{2}=(101325\ {\mbox{Pa}}-20265\ {\mbox{Pa}})\pi (0.25\ {\mbox{m}})^{2}=15916\ {\mbox{N}}=1622\ {\mbox{kgf}}$

Si consideramos un peso promedio de 70 kg por persona, soportaría el peso de aproximadamente unos veintitrés individuos.

Otra demostración​ de este experimento requiere del uso de cálculo integral. Desde la física sabemos que $p=F/S$, donde $p$ es la presión en Pascales (Pa), $F$ es la fuerza en Newtons (N) y $S$ la zona en la que la fuerza actúa, tomada en metros cuadrados (m²). Conocemos $p$ y $S$ y queremos averiguar $F$. Tomando $dF=\Delta pdS$ y considerando sólo el componente vertical, obtenemos $dF_{z}=\Delta pdS_{z}$ con $dS_{z}=cos{\theta }dS$.

En este punto podemos decir:

$F_{z}=\iint _{S}\Delta p\,dS_{z}=\Delta p\iint _{S}\cos {\theta }\,dS$

Pasando de coordenadas cartesianas a esféricas, tenemos que $dS=Jd\theta d\phi$, donde $J$ es el determinante Jacobiano y en este caso es igual a $R^{2}sin{\theta }$ con $R$ como radio de la esfera. Por lo tanto se obtiene:

Coordenadas esféricas

$F_{z}=\Delta p\iint _{S}\cos {\theta }\,dS=\Delta p\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi /2}R^{2}sin{\theta }cos{\theta }\,d\theta$

Extrayendo las constantes y aplicando el seno del ángulo doble, se puede escribir:

$F_{z}={\frac {R^{2}\Delta p}{4}}\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi /2}sin{2\theta }\,d2\theta ={\frac {R^{2}\Delta p}{4}}2\pi [-\cos {\pi }+\cos {0}]=\pi R^{2}\Delta p$

que es el producto entre la diferencia de la presión y el área del círculo máximo, la circunferencia de coincidencia de los puntos de contacto entre los dos hemisferios.

Usando los mismos valores del modelo anterior, utilizado por Von Guericke, tendremos:

$F_{z}=\pi R^{2}\Delta p=\pi *0.25^{2}*0.8*1.013*10^{5}{\tilde {=}}15912N$

que corresponden aproximadamente a los 1622 Kg en el límite de separación.

Las ventosas funcionan con un principio análogo y tienen interesantes aplicaciones prácticas, sobre todo en la industria.

Véase también

• Neumática

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Hemisferios de Magdeburgo.
• Magdeburg Hemispheres