Teorema de Gelfond-Schneider

En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond en 1934 y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider, en 1935. El teorema Gelfond–Schneider es una respuesta parcial al séptimo problema de Hilbert.

Enunciado

Si $\alpha$ y $\beta$ son números algebraicos en el cuerpo de los números complejos (siendo $\alpha \neq 0,1$), y si $\beta$ no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.

Comentarios

• En general, $\alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}$ es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado.
• La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si $\alpha$ y $\gamma$ son números algebraicos diferentes de cero, y $\alpha \neq 1$, entonces $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ es (real) racional o trascendente.
• Si se elimina la restricción de que $\beta$ sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse $\alpha =3$ y $\beta =\log 2/\log 3$, que es trascendente, y $\alpha ^{\beta }=2$, que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un α^β trascendente.

Uso del teorema

Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:

• $2^{\sqrt {2}}$ (la constante de Gelfond-Schneider) y ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ (véase demostración no constructiva).
• $e^{\pi }$ (constante de Gelfond), dado que $e^{\pi }=e^{\ln(-1)-i}$ es uno de los valores de $(-1)^{-i}$.

Véase también

• Teorema de Lindemann–Weierstrass
• Conjetura de Schanuel; si se demostrase, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el de Lindemann-Weierstrass

Referencias

• Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956

• Datos: Q976033