Teorema de la conservación del signo

El teorema de la conservación del signo establece que si una función $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es continua en el un punto $P$ ($P$ contenido en $A$) y $f$ es positiva en $P$, entonces existe un entorno (abierto) del punto $P$ (de radio $\delta$), en el que la función es positiva. Análogamente, si $f$ es negativa en $P$, existe un entorno (abierto) del punto $P$ (de radio $\delta$), en el que la función es negativa.

Enunciado

Sea $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ una función continua en el punto $P\in A$. Si $f(P)>0$ $\Rightarrow (\exists \ \delta >0/$ $x\in A\wedge \left\|x-P\right\|<\delta \Rightarrow f(x)>0)$.

Demostración

Por hipótesis, $f$ es una función continua en el punto $P$.
Entonces $\lim _{x\rightarrow P}f(x)=f(P)>0$
Por la definición de límite: ${\begin{array}{l}{\underset {x\to P}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<||x-P||<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}$.
Tomamos $\varepsilon ={\frac {f(P)}{2}}$. Entonces $\exists \,\delta >0:x\in A\wedge \left\|x-P\right\|<\delta$
$\Rightarrow \left|f(x)-f(P)\right|<{\frac {f(P)}{2}}$
$\Leftrightarrow {\frac {-f(P)}{2}}<f(x)-f(P)<{\frac {f(P)}{2}}$
$\Leftrightarrow$ Sumando $f(P)$:
${\frac {f(P)}{2}}<f(x)<{\frac {3}{2}}f(P)$

Por hipótesis: $f(P)>0\Rightarrow {\frac {f(P)}{2}}>0$

$\therefore f(x)>0$ $\blacksquare$

Observaciones y curiosidades

Este teorema se suele usar para demostrar el teorema de Bolzano.

• Datos: Q16638801