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Si bien la Energía Cinética ($Ec$) de un cuerpo es una propiedad física que depende de su movimiento, la Energía Potencial ($Ep$), en cambio, es un concepto de energía que va a depender del tipo de interacción que se ejerce sobre el cuerpo, de su posición y de la configuración en el espacio del citado cuerpo o cuerpos sobre los que se aplica. Así en una situación ideal en la que los objetos que constituyen el sistema físico en estudio, estén ausentes de fricción, entonces la suma de ambas energías, cinética y potencial, va a representar la energía total del sistema, $E$, y se va a conservar , independientemente de la posición o posiciones que vaya ocupando el sistema en el tiempo.
La noción de energía potencial se relaciona con el trabajo realizado por las fuerzas sobre el sistema físico para trasladarlo de una posición a otra del espacio. La función energía potencial dependerá de forma importante del tipo de campo de fuerzas o interacción que actúe sobre el sistema. Por ejemplo, la fuerza de gravitación, la electromagnética, responsable de las interacciones eléctrica y magnética, o la elástica (derivada de la electromagnética). Si el trabajo no depende del camino seguido, entonces a la fuerza, $F$, se le llama conservativa y el trabajo, $W$, expresará la diferencia de energía potencial $E_{p_{A}}-E_{p_{B}}$ del sistema entre la posición de partida (A) y la posición de llegada (B).

$W_{AB}=\int _{B}^{A}F\cdot \,dl=E_{p_{A}}-E_{p_{B}}\qquad \qquad$

Se utiliza la función potencial $V$ en vez de la energía potencial $E_{p}$ para representar el trabajo realizado por la unidad básica de la interacción. Si, por ejemplo, la interacción es gravitatoria, sería la unidad de masa y en el caso de la interacción eléctrica, la unidad de carga.
La función energía potencial y, en especial, la función potencial, tienen gran interés en la física no sólo cuando se aplican a las interacciones que son importantes a nuestra escala, como son la gravitatoria, la electromagnética y la elástica (derivada de la electromagnética), si no también , en general, cuando se estudia cualquier tipo de fuerza o interacción. Incluso en la Física Cuántica al tratar de resolver la dinámica del sistema físico mediante la ecuación de Schrödinger . Se aplica, por ejemplo, a la Física Atómica, en la obtención de los estados electrónicos del átomo, o en la Física Molecular, para la obtención de los estados electrónicos, de vibración, de vibración-rotación y de rotación de la molécula. También se aplica en la Física Nuclear.

En otras formulaciones más generales de la física, la función potencial juega, así mismo, un papel importante. Entre ellas, la formulación lagrangiana y la hamiltoniana de Mecánica. Cuando la fuerza o interacción sea conservativa, va a tener una función potencial de la que derive y la teoría que se origine, tendrá un gran soporte matemático y físico, siempre y cuando tenga el adecuado sustento experimental.

Energía Potencial Gravitatoria

La energía potencial gravitatoria se define como la energía que poseen los cuerpos por el hecho de encontrarse en una determinada posición en un campo de fuerzas gravitatorias. Asimismo, se define la energía potencial gravitatoria como la energía que posee un cuerpo por encontrarse bajo la acción de la gravedad en las proximidades de la superficie terrestre.
El campo gravitatorio, es un campo creado por masas gravitatorias en que el trabajo realizado para llevar una masa de prueba desde un punto A a otro B es la diferencia de la energía potencial en el punto de partida A menos la energía potencial en el punto de llegada B. El citado trabajo no depende del camino seguido, sino tan solo de los puntos inicial y final. Al gozar de esta propiedad se le llama campo conservativo y cabe aplicar la noción de energía potencial. Eligiendo como referencia el infinito, punto en el que cualquier masa tiene una energía potencial nula, la energía potencial es el trabajo necesario para llevar una masa m desde el infinito hasta un determinado punto A definido por la coordenada $r$:

$W=E_{p_{A}}-E_{p_{\infty }}=\Delta E_{p}=-\int _{\infty }^{A}F\cdot \,dr=-\int _{\infty }^{A}{\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}\cdot \,dr=G\cdot M\cdot m\cdot \left\lbrack {\frac {1}{r}}\right\rbrack _{\infty }^{A}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r_{A}}}=E_{p_{A}}\qquad \qquad [1]$

Donde:

$E_{p}$ es la energía potencial gravitatoria, cuyo valor depende de la distancia $r$ entre la masa de prueba $m$ y la masa $M$ generadora del campo de fuerzas gravitatorias y se mide en julios ($J$)
$G$ es la constante de gravitación universal, cuyo valor es $G=6.673\times 10^{-11}\;\left({\cfrac {{\text{N}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{kg}}^{2}}}\right)$
$M$ y $m$ se miden en kilogramos ($kg$)

$R$ es la distancia que separa las dos masas, medida en metros ($m$)

Esta formula es aplicable tanto a masas puntuales como a masas esféricas, siendo la distancia entre ellas la que hay entre los centros de dichas masas.

Aproximación cerca de la superficie de la Tierra

La energía potencial que posee una masa $m$ situada a una altura $h$ sobre la superficie terrestre vale:

$\Delta Ep=m\cdot g\cdot h\qquad \qquad [2]$

Esta conocida expresión es un caso particular de la ecuación anterior [1].

Dicho caso se presenta cuando la masa se encuentra a una altura pequeña sobre la superficie de la tierra. Para demostrarlo, basta con aplicar la expresión [1] y considerar la variación de energía potencial entre las alturas $h_{1}$ y $h_{2},(h_{1}\leqslant R_{t},h_{2}\leqslant R_{t}$ y $h_{2}>h_{1})$ siendo $R_{t}$ el radio de la tierra.

$Ep_{2}-Ep_{1}=G\cdot M\cdot m\cdot \left({\frac {1}{R_{t}+h_{1}}}-{\frac {1}{R_{t}+h_{2}}}\right)=$

$Ep_{2}-Ep_{1}=G\cdot M\cdot m\cdot {\frac {(h_{2}-h_{1})}{R_{t}^{2}+R_{t}\cdot h_{2}+R_{t}\cdot h_{1}+h_{1}\cdot h_{2}}}\approx G\cdot M\cdot m\cdot {\frac {h_{2}-h_{1}}{R_{t}^{2}}}$

Llamando $g=G\cdot M\cdot {\frac {1}{R_{t}^{2}}}$

$Ep_{2}-Ep_{1}=m\cdot g\cdot (h_{2}-h_{1})$

Si se toma $h_{1}$ como el origen de energías potenciales, por ejemplo, al nivel del mar y llamando $h_{2}=h$ :

$E_{p}=m\cdot g\cdot h$

Por lo tanto, si $h<<R_{t}$ la aproximación es adecuada.

Velocidad de escape

La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo de masa $m$ salga fuera de la atracción gravitatoria. Se puede calcular en el caso de la Tierra

La fuerza de gravitación es conservativa. La energía potencial $U(r)$ de una masa $m$ es:

$U(r)=-G\cdot {\frac {m\cdot M}{r}}$

Para que el cuerpo escape a la acción del campo gravitatorio la energía total $E_{t}$ de la misma debe ser positiva o nula, es decir, debe suceder que la energía cinética supere o, al menos iguale, la energía potencial. En el caso umbral estaremos calculando la velocidad de escape.

$E_{T}=0$

$E_{T}=E_{c}+E_{p}=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{e}^{2}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r}}$

$v_{e}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{R}}}={\sqrt {2gR}}$$(m/s)$

Velocidad de escape de la superficie de la Tierra

$G=6,67\cdot 10^{-11}$
$M_{T}=5,97\cdot 10^{24}$ $kg$
$R=6,37\cdot 10^{6}$ $m$

Sustituyendo los datos se obtiene:

$v_{e}={\sqrt {\frac {2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^{6}}}}\approx 11,17\cdot 10^{3}$$m\cdot s^{-1}$

Si el móvil supera la velocidad de escape abandonaría todavía con más facilidad la acción del campo gravitatorio terrestre.

Superficies equipotenciales

El potencial gravitatorio se define como la energía potencial por unidad de masa:

$V={\frac {E_{p}}{m}}$

Y por tanto se obtiene:

$V(r)={\frac {G\cdot M}{r}}$

Donde $V$ es el potencial de la unidad de masa colocada a una distancia $r$ de la masa $M$. Las unidades de $V$ en el S.I. son ${\frac {J}{kg}}$
G es la constante de gravitación universal, mencionada antes.

M es la masa del objeto que crea el campo y, por tanto, estará medida en $kg$

Si M es puntual o de geometría esférica, las superficies equipotenciales (supericies de potencial constante) son la familia de esferas definidas por la familia de superficies:

$V_{i}={\frac {G\cdot M}{r_{i}}}=C_{i}\ ,\qquad i=1,2,3...$

siendo $C_{i}$ constantes arbitrarias cuyo valor numérico representa el potencial gravitatorio asociado a cada valor de la posición $r_{i}$.

Las superficies equipotenciales gravitatorias terrestres son todas las esferas con centro en el de la Tierra.

Ejemplos de la Energía Potencial gravitatoria

Montaña Rusa

El dibujo de una montaña rusa en un plano se puede interpretar como la representación de la función Energía potencial de un cuerpo en el campo gravitatorio. Cuanto mas sube un móvil la montaña rusa, mayor es su energía potencial y más baja su energía cinética y por tanto se desplaza más lento. En los máximos relativos de dicha función (los picos de la montaña rusa) su energía potencial sera más elevada que en los puntos de su entorno. Estos puntos se llamarán puntos de equilibrio mecánico inestable, ya que si se deposita en ellos un objeto con $v=0$ por poco que se desplace de ese punto, el objeto siempre tenderá a alejarse. Por otro lado, si lo situamos en los mínimos de la función (los valles de la montaña rusa), el móvil que los abandonase en uno u otro sentido siempre tenderá a volver hacia ellos, son los puntos llamados puntos de equilibrio estable.

Ver: Equilibrio mecánico.

Péndulo

En el caso de un péndulo, cuyo movimiento, en la figura, puede alcanzar una altura $h$ medida a partir de su posición más baja, también se puede comprobar la ley de conservación de la energía. Según la ilustración, se aprecia que en los puntos más altos (altura h), donde la Energía Potencial es máxima, la velocidad del péndulo es nula y el movimiento cambia de sentido. Por otro lado, la posición más baja que se pude llamar $P$ , será aquella con una mayor energía cinética y velocidad máxima pero con una energía potencial mínima. La posición $P$ se podrá tomar como origen de la energía potencial (se le puede asociar una energía potencial nula).

Aplicación al movimiento planetario

La energía potencial gravitatoria también influye en la forma de las órbitas de los planetas. El tipo de órbitas dependerá de la energía mecánica del cuerpo. La energía potencial es negativa o positiva, mientras que la energía cinética es siempre positiva. La energía total del cuerpo, al ser la suma de ambas, puede ser negativa, positiva o nula.Es fácil reconocer la forma de las órbitas con ayuda del diagrama de energía potencial $Ep(r)$ o el de potencial $V(r)$. La línea verde sirve para indicar en cada caso cuál es el valor de la energía total del planeta en el dibujo animado que sigue.

• Si la energía total es negativa y de valor absoluto igual a la mitad de la energía potencial (mínimo de la curva) , la trayectoria es una circunferencia centrada en el origen de las fuerzas.

${\color {Black}E}={\color {Black}-{\frac {1}{2}}G{\frac {Mm}{r}}}$

• Si la energía total es mayor que la que se necesita para que la órbita sea circular, pero aun así permanece negativa, la órbita pasa a ser una elipse exterior a la órbita circular. En este caso, el centro de fuerzas será uno de los focos de dicha elipse.

${\color {Black}-{\frac {1}{2}}G{\frac {Mm}{r}}}<{\color {Black}E}<{\color {Black}0}$

• Si la energía total es menor que la necesaria para describir una órbita circular, NO existirá el movimiento al resultar una energía cinética negativa.

${\color {Black}E}<{\color {Black}-{\frac {1}{2}}G{\frac {Mm}{r}}}$

• Si la energía total es nula, la energía cinética es, en valor absoluto, igual a la energía potencial. El cuerpo alcanza la velocidad de escape, y su trayectoria será una parábola con su foco en el centro de fuerzas (posición del Sol, (r=0)). La trayectoria será, pues, abierta.

${\color {Black}E}=0\Rightarrow E_{c}=-E_{p}$

• Si la energía total es positiva, es porque en valores absolutos su energía cinética es mayor que su energía potencial. Por lo tanto, su velocidad excede la velocidad de escape y su trayectoria será una hipérbola, también abierta.

${\color {Black}E}>0\Rightarrow E_{c}>-E_{p}$

Energía Potencial Nuclear

Para poderse desenvolver en el campo de la Física Nuclear conviene hacer tres observaciones. La primera recordar que el núcleo del átomo está constituido por protones y neutrones y que ambos conjuntamente son considerados como nucleones dado que como tales nucleones le confieren al núcleo algunos de sus atributos, por ejemplo la existencia del número másico A. La segunda recordar también que la resolución de la interacción a nivel de partículas debe llevarse a cabo empleando los procedimientos de la Física Cuántica. Concretamente por aplicación de la ecuación de Schrödinger donde figura explícitamente la expresión de la energía potencial asociada al fenómeno de la interacción. Por último comentar que para analizar la estructura del núcleo y de los nucleones hay que moverse dentro del margen de distancias y dimensiones de los fm ( femtometros ) donde $1fm=10^{-15}m$.

Dos tipos de fuerzas intervienen en la estructuración del núcleo, las fuerzas electromagnéticas asociadas a la carga eléctrica de los protones que son conservativas y las fuerzas nucleares ​. Estas últimas presentan algunas propiedades que deben ser bien conocidas para poderles asociar la expresión de energía potencial que les corresponde. Las características más sobresalientes a la hora de diseñar una energía potencial pueden ser las siguientes, si bien existen otras. Son fuerzas atractivas muy intensas de forma que superan en dos órdenes de magnitud la repulsión electrostática entre los protones. Actúan por igual entre los nucleones, sean estos protones o neutrones. Son de corto alcance de forma que un nucleón solo interacciona con sus vecinos inmediatos. De todo ello se puede deducir que no acaban de encajar dentro del concepto de fuerzas conservativas. Sin embargo, dada la utilidad de la energía potencial y la necesidad de incorporarla a la ecuación de Schrödinger para resolver los problemas dentro de la física a nivel de partículas, se puede hacer un esfuerzo y adoptar la existencia de la magnitud $E_{p}$ seleccionando también los márgenes de distancias donde pueda resultar factible esta hipótesis al introducir modelos prácticos.

Para las fuerzas nucleares como para otras fuerzas, pueden construirse modelos analíticos, modelos empíricos, modelos gráficos o modelos mixtos. Las propiedades básicas de estas y, sobre todo, el buen funcionamiento de los modelos nucleares cuando se aplican a casos reales determinarán su aceptación, su rechazo o bien establecerán los requerimientos necesarios para su optimización. Cada uno de los modelos establecidos para el núcleo sirve para justificar alguna de sus propiedades. No hay modelos que abarquen una descripción completa de toda la fenomenología nuclear.

La barrera de potencial nuclear

Si se lanzan partículas cargadas positivamente ( dotadas de una carga |ze| donde z representa el número de protones que posee la partícula cargada ) contra una muestra formada por átomos de número atómico Z (los núcleos de los átomos poseerán la carga ( $|Ze|$) estas tendrán que vencer una barrera de potencial para poder acceder al mismo. La barrera de potencial a franquear será de origen electrostático y se opondrá a la aproximación de las partículas cargadas. Esta barrera de potencial se encontrará superpuesta a la energía potencial debida a las fuerzas nucleares que, en el caso de una gran aproximación, favorecerá la incorporación de la partícula al núcleo para crear una nueva configuración nuclear $((Z+z)e)$ . El modelo de energía potencial asociado a las fuerzas nucleares atractivas consistirá así en un pozo rectangular de anchura $2R$, donde $R$ representa el radio del núcleo, y profundidad ${-U}_{0}$.El modelo de barrera asociado a la fuerza electrostática repulsiva será

$E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {|ze||Ze|}{r}}$

La energía electrostática en la periferia del núcleo de radio $r=R$ caerá bruscamente hasta ${-U}_{0}$ al entrar en juego las fuerzas nucleares atractivas. Justo en el borde del núcleo la barrera electrostática pasará por su valor máximo:

$E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {|ze||Ze|}{R}}$

La existencia de esta barrera implica la necesidad de un aporte de energía cinética que sobrepase el valor anterior por parte de la partícula cargada impactante para poderla franquear y ser incorporada al núcleo. Para proporcionar una energía cinética a las partículas cargadas ze se acudirá a los aceleradores de partículas. Sin embargo, en virtud del Efecto Túnel algunas partículas cargadas podrán atravesar la barrera de potencial tanto en sentido entrada al núcleo como en sentido salida del mismo, sin necesidad de ese aporte energético suplementario. Es el caso, por ejemplo, de la desintegración alfa.

La energía potencial nuclear entre dos nucleones libres

Una primera hipótesis sobre la expresión de la energía potencial entre dos nucleones libres se debe a Yukawa ​

$E_{p}(r)={-E_{0}}r_{0}{\frac {e^{^{-r}/_{r_{0}}}}{r}}$

donde $r$ es la distancia entre los dos nucleones en interacción, $r_{0}$ representa una distancia característica representativa del "alcance" de la fuerza fuerza de interacción nuclear tal que

$E_{0}=eE_{p}(r_{0})$

Esta expresión, si bien puede asociarse a la acción de las fuerzas nucleares, adolece de dos defectos. El primero que al ser una fuerza atractiva muy intensa y que aumenta con la proximidad de los nucleones, se pensaría que podría llegar a colapsarlos. El segundo, que si bien los neutrones, una de las dos clases de nucleón, no exhiben ninguna carga eléctrica, los protones, la otra clase de nucleón, poseen una unidad de carga eléctrica elemental. Estos dos efectos no se toman en consideración, sin embargo, en la expresión de Yukawa.

El primer efecto fue analizado y resuelto inicialmente por Jastrow ( 1951 ). Para ello estudió las interacciones neutrón-protón y protón-protón que impactaban en el margen de las altas energías (del orden de centenares de MeV). Si en aras de una simplificación expositiva se prescinde de algunas consideraciones cuánticas, se puede manifestar que llegó a la conclusión de la existencia de una fuerza repulsiva que surge a partir de un radio algo inferior al radio asociado al nucleón. La fuerza repulsiva crece muy fuertemente al disminuir la distancia entre los dos nucleones en interacción. Este radio inferior determina la existencia de un núcleo esférico impenetrable que protege la integridad del nucleón, el llamado “núcleo duro”. En términos de energía potencial, la fuerza repulsiva origina una energía potencial positiva pero de pendiente negativa que disminuye muy fuertemente con r y lo hace con una pendiente superior en valor absoluto a la correspondiente a la de la energía potencial de Yukawa, asociada a la fuerza nuclear atractiva. ​

Existen valoraciones sobre el tamaño del “núcleo duro”. El radio de un nucleón puede estimarse en rc ≈ 0.7 fm. Por otro lado, y de acuerdo con Thakur el radio del “núcleo duro” de un nucleón puede estimarse en rc ≈ 0.4 fm. ​

Resuelta la primera objeción es preciso introducir el término de energía potencial correspondiente y componerlo, por tanto, con la energía potencial de Yukawa. La superposición de los dos términos de energía potencial proporcionará una curva de energía potencial resultante análoga en términos cualitativos a la existente en la interacción entre dos átomos. En consecuencia aparecerá un pozo de potencial que vendrá caracterizado por un mínimo. Su posición determinará la existencia de un radio efectivo del nucleón y una energía asociada a la profundidad del mismo. La composición de estos dos términos de energía potencial, la energía potencial nuclear y el “núcleo duro”, originará una curva de energía potencial resultante aplicable a las interacciones entre dos neutrones o entre un protón y un neutrón.

[FIGURA 1 DE ROBERTO ]

El segundo efecto, o sea la existencia de una fuerza de interacción electromagnética surge por la existencia de las cargas positivas del núcleo ( protones ) que será de naturaleza repulsiva entre ellos, también llamada potencial de Coulomb . Esta última, por tanto, se manifestará exclusivamente entre los protones pero no entre los neutrones o entre las parejas neutrón y protón. La energía potencial correspondiente a la interacción electromagnética entre dos protones situados a la distancia r valdrá:

$E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}$

y se incorporará a las contribuciones de la proporcionada por las fuerzas nucleares atractivas y al término repulsivo de Jastrow, para componer la expresión completa de la energía potencial que surge, en general, al estudiar la interacción entre los nucleones. En el caso, pues, de la interacción protón-protón, la energía potencial del proceso será la superposición de tres componentes de energía potencial, la debida a las fuerzas nucleares, la correspondiente al “núcleo duro” y la debida a la repulsión electrostática.

. [FIGURA 2 DE ROBERTO ]

Bibliografía

• French, Anthony Phillip; (1974). Mecánica Newtoniana (1ª edición). Reverté. ISBN 8-429-14099-9. 
• Puente, Julio; Romo, Nicolás; Pérez, Máximo (2011). Física 2 (1ª edición). SM. ISBN 978-84-675-4660-6. 
• Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene (2010). Física para la ciencia y la tecnología II (6ª edición). Barcelona: Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

1. http://www.iesleonardoalacant.es/Departamento-fisica/Campo_gravitatorio/Velocidad_escape.pdf
2. https://www.fisicalab.com/apartado/gravedad-orbitas#contenidos
3. https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_el%C3%ADptico
4. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/pegrav.html