Usuario:Jiug/No localidad cuántica

En física teórica, la no localidad cuántica es la característica de algunas medidas hechas a nivelmicroscópico que contradice las suposiciones del realismo local de la mecánica clásica. A pesar de la consideración de variables ocultas como una solución posible a esta contradicción, se ha demostrado que hay aspectos de estadosentrelazados que son irreproducibles por cualquier teoría de variables ocultas local. El teorema de Bell es una de tales demostraciones con respaldo experimental.

Los experimentos generalmente favorecen la descripción de la mecánica cuántica de la naturaleza, frente a teorías locales de variables ocultas. Cualquier teoría que reemplace a la mecánica cuántica tiene que hacer predicciones similares y debe, por tanto, ser no local en este sentido; la no localidad cuántica es una propiedad del universo independientemente de cual sea nuestra descripción de la naturaleza.

La no localidad cuántica no permite la comunicación superlumínica, y por tanto es compatible con larelatividad especial. Aun así, incita muchas de las discusiones fundacionales respecto de teoría cuántica.

Historia

Einstein, Podolsky y Rosen

En 1935, Einstein, Podolsky y Rosen publicaron un experimento mental con que esperaban exponer la incompletitud de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica referente a la vulneración de la causalidad local a las escalas microscópicas que describe. Más adelante, Einstein presentó una versión de estas ideas en una letra a Erwin Schrödinger, la cual se presenta a continuación. La notación utilizada es posterior, similar a la interpretación de Bohm de EPR. El estado cuántico de dos partículas antes de ser medidas se puede escribir como

$\left|\psi _{AB}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|0\right\rangle _{A}\left|1\right\rangle _{B}-\left|1\right\rangle _{A}\left|0\right\rangle _{B}{\bigg )}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{A}\left|-\right\rangle _{B}-\left|-\right\rangle _{A}\left|+\right\rangle _{B}{\bigg )}$

siendo $\left|\pm \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \pm \left|1\right\rangle \right)$.

Aquí, los subíndices A y B se usan para diferenciar ambas partículas, aunque es más común referirse a estas partículas por el nombre de los observadores que las poseen; Alice y Bob. Las reglas de la teoría cuántica predicen los resultados de las medidas llevadas a cabo por los observadores. Alice, por ejemplo, encontrará que su partícula tiene espín hacia arriba el cincuenta por ciento de las veces. Aun así, según la interpretación de Copenhague, la medición de Alice es la causa del colapso de las dos partículas, de forma que si Alice hace una medida de espín en la dirección z, con respecto a la base $\{\left|0\right\rangle _{A},\left|1\right\rangle _{A}\}$ , entonces el sistema de Bob quedará en uno de los dos estados posibles$\{\left|0\right\rangle _{B},\left|1\right\rangle _{B}\}$. De la misma manera, si Alice lleva a cabo la medida del espín en la dirección x, por tanto con respecto a la base $\{\left|+\right\rangle _{A},\left|-\right\rangle _{A}\}$, entonces el sistema de Bob colapsa en uno de los estados$\{\left|+\right\rangle _{B},\left|-\right\rangle _{B}\}$. Schrödinger se refirió a este fenómeno como «steering». El steering ocurre de tal manera que ninguna señal puede ser enviada al realizar este cambio de estado; la no localidad cuántica no puede ser usada para enviar mensajes instantáneamente y por tanto no entra en contradicción con la causalidad de la relatividad especial.

En la interpretación de Copenhague de este experimento, la medida de Alice (especialmente la elección de la medida) tiene un efecto directo en el estado de Bob. Sin embargo, bajo la suposición de localidad, las acciones en el sistema de Alice no afectan el estado «real» u «óntico» del sistema de Bob. Se puede ver que, el estado del sistema de Bob debe ser compatible con uno de los estados $\left|\uparrow \right\rangle _{B}$ o$\left|\downarrow \right\rangle _{B}$, debido a que Alice puede realizar una medida que implique que uno de estos estados es la descripción cuántica del sistema. A su vez, también debe ser compatible con uno de los estados $\left|\leftarrow \right\rangle _{B}$ o $\left|\rightarrow \right\rangle _{B}$ por la misma razón. Por tanto, el estado óntico del sistema de Bob tiene que ser compatible con al menos dos estados cuánticos, de lo que se deduce que tal descripción no es completa. Einstein, Podolsky y Rosen vieron esto como una evidencia de la incompletitud de la interpretación de Copenhague de la teoría cuántica, debido a que la función de onda es una descripción explícitamente incompleta bajo la suposición de localidad. Su artículo concluye:

Así como hemos mostrado que la función de onda no da una descripción completa de la realidad física, dejamos abierta la pregunta de si existe o no tal descripción. Creemos, de todas formas, que tal teoría es posible.

A pesar de que varios autores (en particular Niels Bohr) criticaron la ambigüedad en la terminología del artículo EPR, el experimento mental generó gran interés. Su idea de una "descripción completa" sera más tarde formalizada por la sugerencia de variables ocultas que determina la estadística de los resultados de la medida, pero al cual un observador no puede acceder. La mecánica bohmiana proporciona tal interpretación de la mecánica cuántica con la introducción de variables ocultas; aun así la teoría es explícitamente no local. Esta visión no da una respuesta a la cuestión de Einstein sobre si es posible dar una descripción de la mecánica cuántica en función de variables ocultas locales manteniendo el principio de acción local.

No localidad probabilística

En 1964 John Bell dio respuesta a la pregunta de Einstein mostrando que tales variables ocultas locales no pueden reproducir todo el abanico de resultados predichos por la teoría cuántica. Bell demostró que la hipótesis de las variables ocultas locales lleva a restricciones en la intensidad de las correlaciones entre medidas experimentales. Si las desigualdades de Bell se violan experimentalmente, tal y como predice la mecánica cuántica, la realidad no puede ser descrita en función de variables ocultas locales y el misterio de la no localidad cuántica persiste. De acuerdo con Bell:

Esta [estructura no local] es característica... de cualquier teoría que reproduce exactamente las predicciones de la mecánica cuántica.

Clauser, Horne, Shimony y Holt (CHSH) reformularon estas desigualdades de para poder comprobarlas experimentalmente (ver la desigualdad CHS). Propusieron un esquema en el cual dos experimentadores, Alice y Bob, hacen medidas separadas de la polarización de un fotón en dos direcciones cuidadosamente escogidas, y derivaron una desigualdad sencilla que está que cumplen todas las teorías variables ocultas locales, pero es violada por algunas medidas de estados cuánticos.

Bell formalizó la idea de una variable oculta introduciendo el parámetro λ que caracteriza localmente los resultados de medidas hechas en cada uno de los sistemas: "Es indiferente ... si λ denota una sola variable o un conjunto de ellas ... y si las variables son discretas o continuas". De todas formas es equivalente (y más intuitivo) pensar en λ como un «estrategia» local o «mensaje» que ocurre con una probabilidad ρ($\lambda$) cuando se genera un par de estados entrelazados. El criterio de EPR de separabilidad local dicta que cada estrategia local define las distribuciones de resultados independientes si Alice mide en la dirección A y Bob mide en la dirección B.

$P\left({a,b}{|}{A,B,\lambda }\right)=P\left({a}{|}{A,\lambda }\right)P\left({b}{|}{B,\lambda }\right)$

donde, $\scriptstyle P\left({a}{|}{A,\lambda }\right)$ denota la probabilidad de Alice de medir un λ dado, habiendo medido A.

Suponiendo que λ puede tomar valores de un conjunto $\lambda _{i}$, siendo 1 ≤ i ≤ k. Si cada $\lambda _{i}$ tiene una probabilidad asociada $\rho (\lambda _{i})$ de ser seleccionada (de tal forma que la suma de todas las probabilidades sea la unidad) se puede promediar sobre esta distribución para obtener la fórmula de la probabilidad conjunta de cada resultado:

$P\left({a,b}{|}{A,B}\right)=\sum _{i=1}^{k}P\left({a,b}{|}{A,B,\lambda _{i}}\right)\rho \left(\lambda _{i}\right)\,.$$P\left({a,b}{|}{A,B}\right)=\sum _{i=1}^{k}P\left({a,b}{|}{A,B,\lambda _{i}}\right)\rho \left(\lambda _{i}\right)\,.$

En el esquema CHSH, el resultado de la medida para la polarización de un fotón puede tomar dos valores (intuitivamente, si está polarizado en la dirección medida o en la ortogonal). Esto queda codificado en el signo de b que puede tomar valores ±1. Para medidas arbitrarias de A y B, el correlacionador E(A,B) se define como

$E\left({A,B}\right)=\sum _{a,b}abP\left({a,b}{|}{A,B}\right)\,.$

Nótese que el producto ab es igual a 1 si Alice y Bob obtienen el mismo resultado, y −1 si las medidas son diferentes. La función de correlación E(A,B) puede interpretarse como la expectativa de que haya correlación entre las medidas de Alice y Bob. En caso de que Alice escoja una de ambas medidas $A_{0}$ o $A_{1}$, y Bob escoja entre $B_{0}$ y $B_{1}$, el valor CHSH para esta distribución de probabilidad conjunta vienen dado por

$S_{CHSH}=E\left({A_{0},B_{0}}\right)+E\left({A_{0},B_{1}}\right)+E\left({A_{1},B_{0}}\right)-E\left({A_{1},B_{1}}\right)\,.$

El valor $S_{CHSH}$incluye una contribución negativa del correlacionador siempre que se escogen $A_{1}$ y $B_{1}$($x=y$ siempre que $XY=1$), y una contribución positiva en los demás casos ($x$≠$y$ cuando $XY=0$). Si la distribución de probabilidad conjunta puede ser descrita por estrategias locales como en el desarrollo anterior, se puede mostrar que la función de correlación obedece siempre la siguiente desigualdad CHSH:

$-2\leq S_{CHSH}\leq 2\,.$

Sin embargo, si en vez de las variables ocultas se adoptan las reglas de la teoría cuántica, es posible construir un par de partículas entrelazadas (cada una en uno de los sistemas de Alice y Bob) y un conjunto de resultados $\scriptstyle A_{0},A_{1},B_{0},B_{1}$ tales que $\scriptstyle S_{CHSH}\;=\;2{\sqrt {2}}$. Esto demuestra una manera explícita en la que una teoría con estados ontológicos que son locales, medidas locale y solamente acciones locales no puede producir las predicciones de la teoría cuántica, refutando la hipótesis de Einstein. Físicos experientales como Alain Aspect han verificado la violación de la desigualdad CHSH, así como diferentes formulaciones de la desigualdad de Bell que invalidan la hipótesis de las variables ocultas locales y confirman que la realidad es efectivamente no local en el sentido EPR.

No localidad posibilística

La demostración de la no localidad de Bell es probabilística en el sentido de que muestra que ciertas probabilidades predichas por la mecánica cuántica para sistemas que contienen estados entrelazados no pueden ser replicadas por una teoría local (por brevedad se tomará de aquí en adelante «teoría local» como «teoría local de variables ocultas». Sin embargo, la mecánica cuántica produce una ruptura aún mayor con las teorías locales: una ruptura posibilística, en la cual se encuentra que las teorías locales no coinciden con la mecánica cuántica en qué eventos son posibles o imposibles en un sistema entrelazado. La primera prueba de este tipo fue dada por Greenberger, Horne y Zeilinger en 1993. El estado en cuestión se conoce normalmente como estado GHZ.

En 1993, Lucien Hardy demostró una prueba lógica de la no localidad que, como la prueba GHZ es una prueba posibilística. Nótese que el estado $\left|\psi \right\rangle$ definido anteriormente puede ser descrito de formas más sugerentes:

$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left|00\right\rangle +\left|01\right\rangle +\left|10\right\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\sqrt {2}}\left|+0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+1\right\rangle +\left|-1\right\rangle \right)\right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\sqrt {2}}\left|0+\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|1+\right\rangle +\left|1-\right\rangle \right)\right)$

donde, igual que anteriormente,$|\pm \rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|0\right\rangle \pm \left|1\right\rangle )$.

El experimento consiste en repartir este par entrelazado entre dos experimentadores, cada uno de los cuales tiene la habilidad de medir con respecto a una de las bases $\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$ o $\{\left|+\right\rangle ,\left|-\right\rangle \}$. Se puede ver que si ambos miden con respecto a $\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$, nunca an a encontrar $\left|11\right\rangle$ como resultado. Si uno mide con respecto a $\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$ y el otro con respecto a $\{\left|+\right\rangle ,\left|-\right\rangle \}$, nunca van a medir los estados$\left|-0\right\rangle ,$$\left|0-\right\rangle .$ Sin embargo, algunas veces encontrarán $\left|--\right\rangle$ al medir con respecto a $\{\left|+\right\rangle ,\left|-\right\rangle \}$, debido a que $\langle --|\psi \rangle =-{\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}\neq 0.$

Esto produce la siguiente paradoja: teniendo el resultado $|--\rangle$ se deduce que si uno de los experimentadores hubiera medido con respecto a $\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$ se obtendría $|{-}1\rangle$ o $|1-\rangle$, ya que $|{-}0\rangle$ y $|0-\rangle$ son imposibles. Pero entonces, si ambos hubiesen medido con respecto a $\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle \}$, por localidad el resultado debería haber sido $\left|11\right\rangle$ que también es imposible.

Diferencias entre la no localidad y el entrelazamiento

En los medios y la ciencia general, la no localidad cuántica se muestra muchas veces como equivalente de le entrelazamiento. Si bien es cierto que para que un estado puro bipartito produzca correlaciones no locales tiene que estar entrelazado, existen estados entrelazados (mezcla) que no producen tales correlaciones y estados no entrelazados (separables) que muestran ciertos tipos de comportamiento no local. Un conocido ejemplo de lo anterior es un subconjunto de estados Werner que están entrelazados pero cuyas correlaciones pueden ser descritas siempre en función de variables ocultas locales. Por otro lado, se encuentran ejemplos razonablemente simples de las desigualdades de Bell para los cuales el estado cuántico que produce la mayor discrepancia nunca es un estado entrelazado maximal, mostrando que el entrelazamiento, de algún modo, no es proporcional a la no localidad.

En resumen, el entrelazamiento de un estado bipartito no es necesario ni suficiente para que este sea no local. Es importante reconocer que es común ver el entrelazamiento como un concepto algebraico, un precedente de la no localidad así como de la teleportación cuántica y la codificación superdensa, mientras que la no localidad se interpreta de acuerdo con la estadística experimental y está mucho más relacionada con los fundamentos e interpretaciones de la mecánica cuántica.

No localidad supercuántica

A pesar de que la desigualdad CHSH pone restricciones sobre el valor CHSH que se puede obtener mediante una teoría de variables ocultas locales, las teoría cuántica no permite que se viole el límite de Tsirelson $\scriptstyle 2{\sqrt {2}}$, ni siquiera aprovechando las medidas de partículas entrelazadas. La pregunta de si éste es el valor máximo de CHSH posible sin permitir la comunicación instantánea a distancia seguía vigente hasta que en 1994 dos físicos, Sandu Popescu y Daniel Rohrlich, formularon un conjunto explícito de medidas que respetaban el principio de "no instantaneidad" y aún así obtenía $S_{CHSH}=4$, el máximo algebraico. Previamente fue descubierta la máxima discrepancia de CHSH consistente con el no envío de señal por Rastall, Khalfin y Tsirelson. Esto demostró que es posible formular teorías consistentes con el principio de no instantaneidad que violan las restricciones de probabilidades conjuntas de la mecánica cuántica. El intento por entender qué distingue a la teoría cuántica de estas teorías generales motivó la abstracción de las medidas de no localidad físicas al estudio de las cajas no locales.

Las cajas no locales generalizan el concepto de los experimentadores que haciendo medidas conjuntas en diferentes lugares. Igual que anteriormente, la elección de la medida se codifica en la información de entrada de la caja. Una caja no local bipartita toma la entrada A de Alice y la entrada B de Bob y devuelve a y b respectiva y separadamente como salida. Los valores a, b, A y B toman valores de un alfabeto finito (normalmente $\{0,1\}$). La caja se caracteriza por la probabilidad de producir el par a, b dadas las entradas A, B. Esta probabilidad se denota $\scriptstyle P\left({{a,b}{|}{A,B}}\right)$ y obedece las condiciones probabilísticas de positividad y normalización:

$P\left({{a,b}{|}{A,B}}\right)\geq 0\quad \forall {a,b,A,B}$

y

$\sum _{a,b}P\left({{a,b}{|}{A,B}}\right)=1\quad \forall {A,B}$

Una caja se considera local, o que admite un modelo de variable oculta, si sus probabilidades de salida pueden ser caracterizadas de la siguente forma:

$P\left({{a,b}{|}{A,B}}\right)=\sum _{\lambda }p(\lambda )\;P\left({{a}{|}{A,\lambda }}\right)\;P\left({{b}{|}{B,\lambda }}\right)$

donde $\scriptstyle P\left({{a}{|}{A,\lambda }}\right)$ y $\scriptstyle P\left({{b}{|}{B,\lambda }}\right)$ describen probabilidades de entrada/salida únicas de los sistemas de Alice o Bob y el valor de λ se escoge aleatoriamente de acuerdo con una distribución de probabilidad dada por $p(\lambda )$. Intuitivamente, λ corresponde a una variable oculta, o a una aleatoriedad compartida entre Alice y Bob.Si una caja no cumple esta condición, se denomina explícitamente no local. Sin embargo, el estudio de cajas no locales engloba tanto locales como no locales.

El conjunto más estudiado de cajas no locales son las llamadas cajas no emisoras de señal, de las cuales no Alice ni Bob pueden enviarse la información de la elección de entrada respectivamente. Esta es una restricción físicamente razonable: ajustar la entrada es físicamente análogo a hacer una medida, que inmediatamente debería producir un resultado. Debido a que entre ambas partes puede haber una gran distancia, el envío de señal a Bob podría implicar una diferencia temporal considerable entre medida y resultado, lo que produce un escenario físicamente poco realista.

La condición de no envío de señal impone aún más condiciones sobre la probabilidad conjunta, de forma que la probabilidad de la una salida a o b solamente debería depender de su entrada asociada. Esto permite que la existencia de una probabilidad reducida o marginal en ambas medidas de Alice y Bob formalizada por las condiciones:

$\sum _{b}P\left({a,b}{|}{A,B}\right)=\sum _{b}P\left({a,b}{|}{A,B'}\right)\equiv P\left({a}{|}{A}\right)\quad \forall {a,A,B,B'}$

y

$\sum _{a}P\left({a,b}{|}{A,B}\right)=\sum _{a}P\left({a,b}{|}{A',B}\right)\equiv P\left({b}{|}{B}\right)\quad \forall {b,B,A,A'}$

Todas las restricciones son lineales y por tanto definen un politopo que representa el conjunto de todas las cajas no emisoras de señal con un número dado de entradas y salidas. Además, este politopo es convexo debido a que cualquier par de cajas contenidas en el pueden mezclarse (de acuerdo con alguna variable λ con probabilidades $p(\lambda )$) para producir una nueva caja dentro del mismo.

Es obvio que las cajas locales no emiten señales, pero las no locales pueden o no emitir. Este politopo contiene todas las posibles cajas no emisoras con un número dado de entradas y salidas, dicho de otro modo, tiene como subconjuntos tanto cajas locales como aquellas que pueden llegar el límite de Tsirelson de acuerdo con correlaciones mecanico-cuánticas. De hecho, el conjunto de cajas locales forma un sub-politopo convexo dentro del politopo no emisor.

Es posible alcanzar la máxima discrepancia algebraica de la desigualdad CHSH propuesta por Popescu y Rohrlich con una caja no emisora, llamada caja PR, con probabilidad conjunta:

$P\left({a,b}{|}{A,B}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&{\mbox{if }}a\oplus b=AB\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

siendo $\oplus$ la suma módulo dos.

Se ha intentado discutir en varias ocasiones porqué la Naturaleza no permite (o no debe permitir) una no localidad más fuerte que aquella permitida por la mecánica cuántica. Por ejemplo, a finales de los 2000 se encontró que la mecánica cuántica no puede ser más no local sin violar el principio de indeterminación de Heisenberg. Sorprendentemente se encontró que las cajas PR, en caso de existir, permitirían realizar cualquier computación distribuida con una comunicación de un solo bit. Un resultado aún más fuerte es que para cualquier caja no local que sobrepase el límite de Tsirelson, no puede haber una medida razonable de la información mutua entre pares de sistemas. Lo que sugiere una conexión profunda entre la no localidad y las propiedades relacionadas con la teoría de la información de la mecánica cuántica. No obstante, las cajas PR han sido descartadas por un plausible postulado en la teoría de la información.

Recientemente, la criptografía cuántica ha considerado posibles atacantes no emisores de señal. Tales atacantes estarían restringidos únicamente por el principio de no emisión, y por tanto podrían ser más poderosos que un atacante cuántico.

No localidad y relaciones de incertidumbre

Las correlaciones no locales están limitadas fundamentalmente por las relaciones de incertidumbre de las partes. Este hecho ya se había encontrado en y se mostró como una característica de cualquier teoría física donde las correlaciones no locales son consistentes con la causalidad relativista. Un ejemplo es el escenario Bell-CHSH, donde Alice mide $A_{0}$$A_{0}$ $A_{0}$o $A_{1}$, y Bob mide $B_{0}$ o $B_{1}$. Aquí $A_{i}$, $i=0,1$ y $B_{j}$, $j=0,1$ son operadores autoadjuntos con valores propios $\pm 1$. La estructura de espacio de Hilbert de la mecánica cuántica permite una matriz de covariancia estadística para estos observables, como una generación de la matriz de covariancia de teoría de probabilidad. La matriz de covarianza cuántica de $A_{0}$,$A_{1}$ y $B_{j}$ se expresa como

$C(A_{0},A_{1},B_{j})={\begin{bmatrix}\langle B_{j}^{2}\rangle -\langle B_{j}\rangle ^{2}&\langle A_{0}\otimes B_{j}\rangle -\langle A_{0}\rangle \langle B_{j}\rangle &\langle A_{1}\otimes B_{j}\rangle -\langle A_{1}\rangle \langle B_{j}\rangle \\\langle A_{0}\otimes B_{j}\rangle -\langle A_{0}\rangle \langle B_{j}\rangle &\langle A_{0}^{2}\rangle -\langle A_{0}\rangle ^{2}&\langle A_{0}A_{1}\rangle -\langle A_{0}\rangle \langle A_{1}\rangle \\\langle A_{1}\otimes B_{j}\rangle -\langle A_{1}\rangle \langle B_{j}\rangle &\langle A_{1}A_{0}\rangle -\langle A_{1}\rangle \langle A_{0}\rangle &\langle A_{1}^{2}\rangle -\langle A_{1}\rangle ^{2}\end{bmatrix}}$

que es una matriz autoadjunta semidefinida positiva. Es conveniente normalizar las filas y columnas de $C(A_{0},A_{1},B_{j})$ mediante las respectivas desviaciones estándar de $A_{i}$ y $B_{j}$ para obtener el análogo cuántico a una matriz de correlación,

$\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1},B_{j})={\begin{bmatrix}1&\varrho (A_{0}\otimes 1,1\otimes B_{j})&\varrho (A_{1}\otimes 1,1\otimes B_{j})\\\varrho (A_{0}\otimes 1,1\otimes B_{j})&1&\varrho (A_{0},A_{1})\\\varrho (A_{1}\otimes 1,1\otimes B_{j})&\varrho (A_{1},A_{0})&1\end{bmatrix}}$

siendo

$\varrho (X,Y)={\frac {\langle XY\rangle -\langle X\rangle \langle Y\rangle }{{\sqrt {\langle X^{2}\rangle -\langle X\rangle ^{2}}}{\sqrt {\langle Y^{2}\rangle -\langle Y\rangle ^{2}}}}}$

la versión cuántica de la correlación de Pearson. Esta matriz de correlación es igualmente semidefinida positiva, dicho de otro modo, satisface la siguiente condición:

$\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})\succeq {\begin{bmatrix}\varrho (A_{0}\otimes 1,1\otimes B_{j})\\\varrho (A_{1}\otimes 1,1\otimes B_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varrho (A_{0}\otimes 1,1\otimes B_{j})&\varrho (A_{1}\otimes 1,1\otimes B_{j})\end{bmatrix}}$

por la condición complementaria de Schur este tipo de matrices. La matriz de correlación de la izquierda $\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})$$\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})$, es la submatriz inferior $2\times 2$ en $\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1},B_{j})$. La no negatividad es equivalente a la relación indeterminación de Schödinger-Robertson, que sigue de la no negatividad de su determinante, $1-|\varrho (A_{0},A_{1})|^{2}\geq 0$. Aquí se puede ver que las relaciones de indeterminación de Alice se endurecen debido a la presencia de Bob, el límite inferior en $\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})$ ya no es cero. Otra forma de entender la matriz anterior es como el límite local de Alice ($\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})$) en las correlaciones no locales de Alice y Bob ($\varrho (A_{i}\otimes 1,1\otimes B_{j})$). Es obvio que los papeles de Alice y Bob son intercambiables en caso de querer obtener límites similares en las relaciones de indeterminación de Bob, $\mathrm {Corr} (B_{0},B_{1})$.

La matriz anterior implica nuevas caracterizaciones en el conjunto de correlaciones cuánticas bipartitas. Junto con el conocido límite de Tsirelson, otras caracterizaciones involucran funciones no lineales de las correlaciones subyacentes. Para derivación más intuitiva del parámetro de Bell-CHSH y las indeterminaciones locales de Alice y Bob se puede asumir que las correlaciones son isotrópicas, $\varrho (A_{i}\otimes 1,1\otimes B_{j})=(-1)^{ij}c$, para algún $c\in [-1,1]$. El parámetro de Bell-CHSH en este caso sería $S_{CHSH}=\sum _{i,j\in \{0,1\}}(-1)^{ij}\varrho (A_{i}\otimes 1,1\otimes B_{j})=4c$. Introduciendo estas correlaciones en la desigualdad anterior se obtiene

$\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})\succeq c^{2}{\begin{bmatrix}1&(-1)^{j}\\(-1)^{j}&1\end{bmatrix}}$

, que es equivalente al la condición de no negatividad del determinante de la matriz obtenido mediante la diferencia entre ambos términos de la desigualdad anterior

$(1-c^{2})^{2}-|\varrho (A_{0},A_{1})-(-1)^{j}c^{2}|^{2}\geq 0\;\;\longrightarrow \;\;2c^{2}+|\varrho (A_{0},A_{1})|^{2}-(-1)^{j}c^{2}(\varrho (A_{0},A_{1})+\varrho (A_{1},A_{0}))\leq 1$

Sumando todas las desigualdades para $j=0,1$ teniendo en cuenta que $c=S_{CHSH}/4$ se llega a que

$\left({\frac {S_{CHSH}}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\leq 1-|\varrho (A_{0},A_{1})|^{2}=\det \left(\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})\right)$

que al intercambiar los roles de Alice y Bob queda expresado como

$\left({\frac {S_{CHSH}}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\leq 1-|\varrho (B_{0},B_{1})|^{2}=\det \left(\mathrm {Corr} (B_{0},B_{1})\right)$

Esto muestra que la no localidad cuántica, como medida por los parámetros de Bell-CHSH, está ligada a las indeterminaciones locales de Alice y Bob, quantificada por los determinantes de las respectivas matrices de correlación locales. Es posible ver que se llega al límite de Tsirelson de indeterminación máxima, $2{\sqrt {2}}$, cuando $\det \left(\mathrm {Corr} (A_{0},A_{1})\right)=\det \left(\mathrm {Corr} (B_{0},B_{1})\right)=1$.

Nótese que se puede generalizar el argumento anterior para variables continuas utilizando la formulación en el espacio de fases de la mecánica cuántica. En particular, la matriz de covarianza se evalúa utilizando la función de Wigner subyacente y los productos de Moyal (ver Espacio de Fases).

No localidad como axioma frente a indeterminación como axioma

Cualquier teoría que reemplace a la actual mecánica cuántica ha de tener en cuenta el hecho de que el incumplimiento de las desigualdades de Bell es un hecho experimental. Por otro lado aún no se han observado vulneraciones de la causalidad relativista, que podrían dar lugar a paradojas problemáticas. Sin embargo, tomando la no localidad y la no emisión de señal como axiomas de la teoría física ha resultado inútil a la hora de caracterizar un conjunto de correlaciones cuánticas -la no emisión de señal no limita la no localidad de ninguna forma. Caracterizaciones parciales de este conjunto se han derivado utilizando argumentos razonables, aunque no siempre físicos (véanse secciones anteriores)

Recientemente se ha mostrado que, tomadas las relaciones de indeterminación como punto de partida, la causalidad relativista, manifestada mediante la localidad de dichas relaciones, caracteriza completamente el conjunto de correlaciones cuánticas en un escenario de medidas bipartitas binarias. Utilizadas de esta manera, las relaciones de indeterminación hacen referencia a la existencia de una matriz de covarianza empírica, suposición más razonable que asumir que la mecánica cuántica tiene estructura de espacio de Hilbert. Tal covarianza podría ser escrita para cualquier número de observadores, con un número arbitrario de instrumentos de medida, tanto para variables discretas como continuas. Asumir además la localidad de las relaciones de incertidumbre -que los experimentadores no pueden manipular las relaciones de incertidumbre de sus pares- restringe el conjunto de correlaciones no locales.

El modelo de Blasiak

En octubre de 2018, se informó de que el comportamiento cuántico puede ser explicado usando física clásica para una partícula en un circuito interferométrico.

De forma análoga a la teoría de la «onda piloto» de de Broglie-Bohm, el modelo de Blasiak se basa en la ontología una partícula y una onda piloto, y la onda piloto asegura predicciones indistinguibles del caso cuántico. La principal diferencia es el colapso de la función de onda. La teoría de de Broglie- Bohm evita el colapso incluyendo el resto del universo (con detectores de partículas, otros aparatos, observadores, etc.) dentro del sistema. El modelo de Blasiak describe una única partícula en un circuito cuántico (llamado «circuito interferométrico») que contiene aparatos como desfasadores, divisores de haz y detectores de partículas. Normalmente es el detector el que causa el colapso (cambio discontinuo, no local) de la función de onda. El modelo de Blasiak trata la detección sin vulnerar el principio de localidad utilizando las ideas siguientes.

La función de onda consiste en fragmentos. Cada fragmento surge de una detección, y se propaga desde el punto de detección, desplazando gradualmente fragmentos anteriores. La partícula se mueve dentro de la región de expansión ocupada por el fragmento más reciente. Por tanto, fragmentos obsoletos no tienen efecto alguno, nunca dirigen (pilotan) la partícula. La eliminación gradual de los fragmentos antiguos se lleva a cabo mediante la tercera componente ontológica, un campo que lleva la información del tiempo de la detección mas reciente en el pasado causal de un punto en el espacio-tiempo.

La información no puede viajar más rápido que la luz

La no localidad no implica que la información puede viajar más rápido que la luz. De hecho, la teoría cuántica de campos preserva la causalidad.

Una muestra es que el conmutador de dos operadores cuánticos de tipo espacio locales es siempre cero (anticonmutador enel caso de operadores fermiónicos).

Véase también

• Acción en una distancia
• Experimento de Popper
• Pseudo-telepatía cuántica
• Contextualidad cuántica
• Fundamentos de la mecánica cuántica

Leer más

• Grib, AA; Rodrigues, WA (1999). Nonlocality in Quantum Physics. Springer Verlag. ISBN 978-0-306-46182-8. 
• Cramer, JG (2015). The Quantum Handshake: Entanglement, Nonlocality and Transactions. Springer Verlag. ISBN 978-3-319-24642-0. 

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