Usuario:Lord Arioch/Lógica matemática

   * 1 Historia
         o 1.1 Historia temprana
         o 1.2 Siglo XIX
               + 1.2.1 Teorías fundacionales
         o 1.3 Siglo XX
               + 1.3.1 Abanico de teorías y paradojas
               + 1.3.2 Lógica simbólica
               + 1.3.3 Comienzos de las otras ramas
   * 2 Subáreas y ámbito
   * 3 Lógica formal
         o 3.1 First-order Lógica de primer orden
         o 3.2 Otras lógicas clásicas
         o 3.3 Lógica no-clásica y modal
   * 4 Set theory
   * 5 Model theory
   * 6 Recursion theory
         o 6.1 Algorithmically unsolvable problems
   * 7 Proof theory and constructive mathematics
   * 8 Connections with computer science
   * 9 Foundations of mathematics
   * 10 See also
   * 11 Notes
   * 12 References
         o 12.1 Undergraduate texts
         o 12.2 Graduate texts
         o 12.3 Research papers, monographs, texts, and surveys
         o 12.4 Classical papers, texts, and collections
   * 13 External links

La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en las aplicaciones de la lógica formal a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof systems.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Mathematical logic is often divided into the subfields of set theory, model theory, recursion theory, and proof theory and constructive mathematics. These areas share basic results on logic, particularly first-order logic, and definability.

La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.

La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Since its inception, mathematical logic has contributed to, and has been motivated by, the study of foundations of mathematics. This study began in the late 19th century with the development of axiomatic frameworks for geometry, arithmetic, and analysis. In the early 20th century it was shaped by David Hilbert's program to prove the consistency of foundational theories. Results of Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, and others provided partial resolution to the program, and clarified the issues involved in proving consistency. Work in set theory showed that almost all ordinary mathematics can be formalized in terms of sets, although there are some theorems that cannot be proven in common axiom systems for set theory. Contemporary work in the foundations of mathematics often focuses on establishing which parts of mathematics can be formalized in particular formal systems, rather than trying to find theories in which all of mathematics can be developed.

Historia

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).

Áreas

La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

• Filosófica y crítica
• Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
• Teoría de modelos
• Teoría de la computabilidad
• Teoría de conjuntos
• Teoría de la demostración y matemática constructiva
• Lógica algebraica
• Modelos no-estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.

Lógica de predicados

La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.

Lenguajes y estructuras de primer orden

Un lenguaje de primer orden' ${\mathfrak {L}}\,$ es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:

1. El símbolo de igualdad' $=\,$; las conectivas $\lor \,$, $\lnot \,$; el cuantificador universal $\forall \,$ y el paréntesis $(\,$, $)\,$.
2. Un conjunto contable de símbolos de variable $\{v_{i}\}_{i=0}^{\infty }\,$.
3. Un conjunto de símbolos de constante $\{c_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,$.
4. Un conjunto de símbolos de función $\{f_{\beta }\}_{\beta \in \mathrm {B} }\,$.
5. Un conjunto de símbolos de relación $\{R_{\gamma }\}_{\gamma \in \Gamma }\,$.

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.

Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.

Una ${\mathfrak {L}}\,$-estructura sobre el lenguaje ${\mathfrak {L}}\,$, es una tupla consistente en un conjunto no vacío $A\,$, el universo del discurso, junto a:

1. Para cada símbolo constante $c\,$ de ${\mathfrak {L}}\,$, tenemos un elemento $c^{\mathfrak {A}}\in A\,$.
2. Para cada símbolo de function $n\,$-aria $f\,$ de ${\mathfrak {L}}\,$, una function $n\,$-aria $f^{\mathfrak {A}}:A^{n}\longrightarrow A\,$.
3. Para cada símbolo de relación $n\,$-aria $R\,$ de ${\mathfrak {L}}\,$, una relación $n\,$-aria sobre $A\,$, esto es, un subconjunto $R^{\mathfrak {A}}\subseteq A^{n}\,$.

A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

Véase también

• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden

Bibliografía adicional

• Agazzi, Evandro (1986). Lógica simbólica. Editorial Herder. ISBN 978-84-254-0130-5. 

Enlaces externos

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Lord Arioch/Lógica matemática.