Usuario:Raknall/Singularidad de Van Hove

Una singularidad de Van Hove es una singularidad (punto no liso) en la densidad de estados de un sólido cristalino. Los vectores de onda en los que la singularidad de Van Hove ocurren son a menudo referidos a puntos críticos de la zona de Brillouin. Para cristales tridimensionales, toman la forma de kinks (dónde la densidad de estados no es diferenciables). La aplicación más común del concepto de la singularidad de Van Hove viene en el análisis de los espectros de absorción óptica. La existencia de tales singularidades fue analizado por primera vez por el fisico belga Léon Van Hove en 1953 para el caso de densidades de estados del fonón .​

Teoría

Considerando una red unidimensional de N " sitio de particulas", con cada "sitio de partícula" separado por distancia una distancia a, para una longitud total de L = N*a. En vez de suponer que las ondas en esta caja unidimensional son ondas estacionarias, es más conveniente tomar condiciones de borde periódicas:​

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}=n{\frac {2\pi }{L}}$

Donde $\lambda$ es la longitud de onda, y n es un numero entero. (Los enteros positivos describirán ondas de delantero, los enteros negativos describirán olas inversas.) La longitud de onda mas corta para describir un movimiento ondulatorio en la red es de 2a, en donde su mayor número de onda es $k_{max}=\pi /a$, y el cual tambien su mayor entero posible puede tener un valor de $n_{max}=L/2a$ Podemos definir la densidad de estados g(k)dk como el número de ondas estacionarias con vector de onda de k a k+dk:​

$g(k)dk=dn={\frac {L}{2\pi }}\,dk$

Extendiendo el análisis a vectores de onda en tres dimensiones la densidad de estados en la caja serán

$g({\vec {k}})d^{3}k=d^{3}n={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\,d^{3}k$

Dónde $d^{3}k$ es un elemento de volumen en el espacio k, y donde, cada electrón, necesitará ser multiplicado por un factor 2 teniendo en cuenta dos posibles orientaciones para el espín. Por regla de cadena, la densidad de estado en el espacio de energía puede ser expresado como:

$dE={\frac {\partial E}{\partial k_{x}}}dk_{x}+{\frac {\partial E}{\partial k_{y}}}dk_{y}+{\frac {\partial E}{\partial k_{z}}}dk_{z}={\vec {\nabla }}E\cdot d{\vec {k}}$

Dónde ${\vec {\nabla }}$ es el gradiente en el espacio k.

El conjunto de puntos en el espacio k cuáles corresponden a una energía particular E formar una superficie en k-espacial, y el gradiente de E será una perpendicular de vector a esta superficie en cada punto.​ La densidad de estados como función de esta energía E es:

$g(E)=\iint _{\partial E}g({\vec {k}})\,d^{3}k={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\iint _{\partial E}dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}$

$dk'_{x}\,dk'_{y}\,dk'_{z}=dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}$

Entonces podemos escribir dE como:

$dE=|{\vec {\nabla }}E|\,dk'_{z}$

Y, sustituyendo en la expresión para g(E) tenemos:

$g(E)={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {dk'_{x}\,dk'_{y}}{|{\vec {\nabla }}E|}}$

Notas

[[Categoría:Física de la materia condensada]]